方べきの定理

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方べきの定理

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方べきの定理（方冪の定理、方羃の定理、方巾の定理^[1]、ほうべきのていり、英: power of a point theorem^[2]）は、平面初等幾何学の定理の1つである。

定理の主張

図1 Pが円の内側にある(Intersecting chords theorem)[疑問点 – ノート]

図2 Pが円の外側にある(Intersecting secants theorem)[疑問点 – ノート]

図3 Pが円の外側にあり、直線の一方が円の接線である(Tangent–secant theorem)[疑問点 – ノート]

（図1、図2）円 O とその円周上にない点 P について、点 P を通る2本の直線 ${\displaystyle \ell }$ 左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから

∠PAC = ∠PDB

∠PCA = ∠PBD

二角相等により

△PAC ∽ △PDB

よって

PA: PC = PD: PB

すなわち

PA ・ PB = PC ・ PD

P が円 O の外側にある場合 左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、

∠PAC = ∠PDB

∠PCA = ∠PBD

二角相等により

△PAC ∽ △PDB

よって

PA: PC = PD: PB

すなわち

PA ・ PB = PC ・ PD

直線の一方が接線になる場合 左の図において、接弦定理により、

∠PTA = ∠PBT

また、共通の角として

∠TPA = ∠BPT

二角相等により

△PAT ∽ △PTB

よって

PA: PT = PT: PB

すなわち

PA ・ PB = PT²

方べきの定理の逆

方べきの定理は、適当な意味においてその逆が成立することが知られている。

平面上に相異なる4点 A, B, C, D があり、直線 AB と 直線 CD がただ一つの交点 P をもつとする。ここで次の条件を考える。

• (1) ${\displaystyle {\text{PA}}\cdot {\text{PB}}={\text{PC}}\cdot {\text{PD}}}$
  方べきの値は負の値をとりうる。(注意:この図では、線分の記号に絶対値記号をつけたものは単にその長さを表している。)

  この節では、円をその中心点の名前を借りて円 O のように呼ぶことはせず、独立した記号を与えることとする。

  平面上に点 O, P と、O を中心とする円 ω がある。P を通る直線 ${\displaystyle \ell }$

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