胡蝶定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/29 13:45 UTC 版)
胡蝶定理（こちょうていり、英: butterfly theorem）は、ユークリッド幾何学における古典的な結果である。ウィリアム・ウォレスによってはじめて提起されたとされる[1]。この定理は次のように述べられる[2]:p. 78。
胡蝶定理 ― 弦 PQ の中点を M とし、M を通る二つの弦 AB, CD をひき、AD, BC が PQ と交わる点をそれぞれ X, Y とする。このとき M は XY の中点である。
証明
形式的な証明を以下に述べる。
XX', XX'' をそれぞれ X から AM, DM に下ろした垂線とし、同様に YY', YY'' をそれぞれ Y から BM, CM に下ろした垂線とする。
∠MX'X = ∠MY'Y = 90° かつ ∠X'MX = ∠Y'MY （対頂角）であるから △MXX' と △MYY' は相似。従って次式が成り立つ。
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シャリーギンの一般化 イーゴリ・フェドロヴィッチ・シャリーギンは次の一般化を示した[5]。
- 円の弦AB上に、AM = BNを満たすように点M, Nを取る。それぞれM, Nを通る弦PQ, RSを描く。それぞれ弦PR, SQがABと交わる点をL, Kとすれば、AK = BLが成立する。
脚注
- ^ “William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem”. www.cut-the-knot.org. 2024年6月21日閲覧。
- ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- ^ [1], problem 8.
- ^ Martin Celli (2016). “A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings”. Forum Geometricorum (Volume 16): 337-338.
- ^ Протасов В. Ю., Тихомиров В. М. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146.
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Butterfly Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
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