根軸

ウィキペディア

根軸

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/02 01:19 UTC 版)

図 1. 与えられた2つの円（黒）に対する根軸（赤い線）。根軸上の任意の点 P（青）はこの点を中心とし2つの円に直交する固有の円（点線）を持つ。 P を通り各円に接する線分の長さは等しいので、2円に対する方べきも等しくなる。

初等幾何学における2つの円の根軸（こんじく、英: radical axis）とは、2つの円に接線を引いたときその長さが等しくなる点の軌跡である。根軸は2つの円の中心を通る直線に垂直な直線である。2つの円が交わるときには根軸はその交点を通る直線となり、2つの円が接するときには根軸は接点を通る共通接線となる。

根軸上の任意の点 P に対して、P を中心として2円に直交する円が存在する。逆に言えば、2円に直交する円の中心は根軸上にある。他の言い方をすると、根軸上の点 P における2つの円の方べきは等しい、すなわち以下の式が成り立つ。

$R^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}$

2つの円が交わるとき、根軸はその交点を通る割線となる。

図 2. 与えられた3円に直交する円（橙の円）の中心を根心（橙の点）という。

3つの円の根心

どの2つも同心円でない3つの円 A, B, C があるとする。根軸定理とは、3組の円の根軸が1点で交わるかすべて平行であるという定理である。

簡単な証明は以下のとおりである。A と B の根軸上の点から2円に引いた接線の長さは等しい a=b。B と C の根軸上の点においても同様の関係が成り立つ。よってこの2直線の交点では a=b=c が成り立つ。この交点を r とすると a=c が成り立つので A と C の根軸も r を通る。r を根心（radical center）と呼ぶ。

根心を中心として3円に直交する円（根円、radical circle）が存在する。なぜなら、3つの根軸の交点であるためどの2円に対しても直交する円の半径が等しくなるからである。

幾何学的な作図法

根軸の作図法

2つの円 A, B の根軸を作図するためには根軸上の2点がわかればよい。2つの円に交わる円 C を描けば、 A と C の根軸と B と C の根軸は容易に作図できる。この交点を J とすれば上の節の結果より J は根心であり A, B の根軸上にある。同様に2つの円に交わる円 D を描き根心 K を求めれば、J と K を通る直線が求める根軸となる。

図 3. 与えられた2つの円（C と D を中心とする緑と青の円）と相似の中心から引いた線が交わる点を P, Q および S, T とするとこの4点は同一円周上にある。

この作図の特殊な例として図3がある。外部にある2つの円の相似の中心 E をとる。E から2つの円に交わる直線を引き、内側の2つを P, Q とし、同様に S, T をとる。この4点は同一円周上にあるため、P と S を通る直線と Q と T を通る直線の交点は根軸上にある。また、P と Q を通るそれぞれの円の接線を引くと、その交点と P と Q は二等辺三角形となるためこれも根軸上にある。これによって根軸が作図できる。

代数的な作図

図 4. 根軸の位置を計算によって求める。L を J と K の距離とする。x₁ と x₂ を K と B および K と V の距離とする。また、d₁ と d₂ は J と B および J と V の距離とする。

図4によれば、根軸（赤い線）は2つの円の中心 B と V を通る直線（青い線）に垂直である。2つの線の交点 K は B と V の間にある。x₁ と x₂ は K から B と V への距離なので x₁+x₂=D と置くと D は B と V の距離となる。

根軸上に J を取り B と V への距離を d₁, d₂ とすると、方べきの定理より以下が成り立つ。

$d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}$

ウィキメディア・コモンズには、根軸に関連するカテゴリがあります。

• Weisstein, Eric W. "Radical line". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Chordal theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
• Animation at Cut-the-knot