根軸とは? わかりやすく解説

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根軸

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/02/02 01:19 UTC 版)

図 1. 与えられた2つの円(黒)に対する根軸(赤い線)。根軸上の任意の点 P(青)はこの点を中心とし2つの円に直交する固有の円(点線)を持つ。 P を通り各円に接する線分の長さは等しいので、2円に対する方べきも等しくなる。

初等幾何学における2つの円の根軸(こんじく、: radical axis)とは、2つの円に接線を引いたときその長さが等しくなる点の軌跡である。根軸は2つの円の中心を通る直線に垂直な直線である。2つの円が交わるときには根軸はその交点を通る直線となり、2つの円が接するときには根軸は接点を通る共通接線となる。

根軸上の任意の点 P に対して、P を中心として2円に直交する円が存在する。逆に言えば、2円に直交する円の中心は根軸上にある。他の言い方をすると、根軸上の点 P における2つの円の方べきは等しい[1]、すなわち以下の式が成り立つ。

2つの円が交わるとき、根軸はその交点を通る割線となる。
図 2. 与えられた3円に直交する円(橙の円)の中心を根心(橙の点)という。

3つの円の根心

どの2つも同心円でない3つの円 A, B, C があるとする。根軸定理とは、3組の円の根軸が1点で交わるかすべて平行であるという定理である[2]

簡単な証明は以下のとおりである[3]AB の根軸上の点から2円に引いた接線の長さは等しい a=bBC の根軸上の点においても同様の関係が成り立つ。よってこの2直線の交点では a=b=c が成り立つ。この交点を r とすると a=c が成り立つので AC の根軸も r を通る。r根心(radical center)と呼ぶ。

根心を中心として3円に直交する円(根円[4]、radical circle)が存在する。なぜなら、3つの根軸の交点であるためどの2円に対しても直交する円の半径が等しくなるからである。

幾何学的な作図法

根軸の作図法

2つの円 A, B の根軸を作図するためには根軸上の2点がわかればよい。2つの円に交わる円 C を描けば、 AC の根軸と BC の根軸は容易に作図できる。この交点を J とすれば上の節の結果より J は根心であり A, B の根軸上にある。同様に2つの円に交わる円 D を描き根心 K を求めれば、JK を通る直線が求める根軸となる。

図 3. 与えられた2つの円(CD を中心とする緑と青の円)と相似の中心から引いた線が交わる点を P, Q および S, T とするとこの4点は同一円周上にある。

この作図の特殊な例として図3がある。外部にある2つの円の相似の中心 E をとる。E から2つの円に交わる直線を引き、内側の2つを P, Q とし、同様に S, T をとる。この4点は同一円周上にある[5]ため、PS を通る直線と QT を通る直線の交点は根軸上にある[6]。また、PQ を通るそれぞれの円の接線を引くと、その交点と PQ は二等辺三角形となるためこれも根軸上にある[7]。これによって根軸が作図できる。

代数的な作図

図 4. 根軸の位置を計算によって求める。LJK の距離とする。x1x2KB および KV の距離とする。また、d1d2JB および JV の距離とする。

図4によれば、根軸(赤い線)は2つの円の中心 BV を通る直線(青い線)に垂直である。2つの線の交点 KBV の間にある。x1x2K から BV への距離なので x1+x2=D と置くと DBV の距離となる。

根軸上に J を取り BV への距離を d1, d2 とすると、方べきの定理より以下が成り立つ。




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