代数的パターン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 07:26 UTC 版)
抽象代数学において、偶数は0を含むことを要求する多様な代数的構造を構成する。加法的単位元(ゼロ)が偶数であるという事実に、偶数の和も逆元も偶数であることと、和の結合律を加えると、偶数は群を構成することを意味する。さらに言えば、偶数の群は、すべての整数が構成する加法群の部分群である。これは部分群の概念の基本的な例である。 群論の立場から言えば、一般的にある加法群において、減算の元で閉じている任意の非空な部分集合は必然的に部分群になり、特にそれは単位元を含んでいる。先に述べた、"偶数 - 偶数 = 偶数" という規則が0が偶数であるべきことを強要する、という結論は、この一般論における一つの具体例にすぎない。 偶数の集合は整数の正規部分群だから、それは整数を剰余類に類別する。これらの剰余類は次の同値関係による同値類として構成できる。 x − y {\displaystyle x-y} が偶数であるとき x ∼ y {\displaystyle x\sim y} と定義する。ここで0が偶数であることは二項関係 ∼ {\displaystyle \sim } の反射律として直接導かれる。 この部分群による剰余類はただ2つだけ(偶数と奇数)存在し、そこでその位数は2である 同様に、交代群は、n文字の対称群の位数2の部分群である。偶置換と呼ばれる交代群の要素は互換の偶数回数の積である。恒等置換は、互換の0回の積(つまり何もしない)と見なされ、0は偶数だからこれも偶置換である。これは対称群の単位元であるから、偶置換は対称群の部分群となる。
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