直線の切片標準形 (intercept form) は
直線の切片標準形 (intercept form) は
法線標準形 (normal form) と呼ばれる直線の標準形
方程式
方程式
は一般形の方程式で A = 1, B = 0 とした特別の場合であり、このグラフは x-切片が a であるような鉛直線（y-軸に平行）である。この直線の傾きは定まらず、また a = 0 でないならば y-切片も存在しない。a = 0 のときは直線のグラフが y-軸に一致して、任意の実数が y-切片となる。
自明な方程式
は、全ての変数や定数が相殺されて消えてしまうもので、常に成立する自明な関係式である。これはつまり、もとの方程式は恒等式と呼ぶべきであり、この方程式のグラフはふつう考えない（考えるとすれば今の場合は xy-平面全体である）。たとえば 2x + 4y = 2(x + 2y) は見かけ上二変数の一次方程式だが、等号で結ばれた各辺の数式は x や y の値をどのように定めようとも「常に」等しい。
同様に不能な方程式
も見かけ上二変数の一次方程式からは現れうる。方程式を代数的な操作で変形していって 1 = 0 のような成立不能な式が導かれる場合に、もとの方程式は不能であるという。これは x や y をどのように与えても関係式が常に成立しないということであり、この場合もグラフを考えることはふつうしないが、かんがえるとすればそれは空集合である。たとえば 3x + 2 = 3x − 5 は一次不能方程式である。
直線の一般化の方向としては、たとえば直線がうめこまれる空間の次元を上げることと、直線の高次元の対応物となる幾何学的対象を考えることのふたつを挙げることができる
空間直線やもっと高い次元の空間に埋め込まれた直線の標準形としてはしばしば
という形の式が用いられる[1]。これは実質的に点・傾き標準形であり、パラメータ表示で
と単純に変数の数を増やしたものとも実質的に同じものである。パラメータ表示はベクトルを用いて書けば高次元への一般化に際しても簡明な記述を行うことができる。直線の高次の対応物は適当な方法で助変数の数を増やすことで得られる。直線を高次元の対応物に置き換える方向では多変数化が行われることになるが、x を（あるいは y も）ベクトル値変数とし、係数は同じ次元のベクトルで変数との内積をとるものとすると、ここに挙げたいくつかの標準形については、そのまま考えることができ、類似の議論をおこなうことができる。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/27 04:51 UTC 版)
「ブレゼンハムのアルゴリズム」の記事における「直線の方程式」の解説
傾きを係数とする直線の方程式は次のとおりである。 y = f ( x ) = m x + b {\displaystyle y=f(x)=mx+b} ここで m が傾き、b がy軸上の値（y軸との交点）である。この方程式は x についての関数だが、これを x と y の関数に変換することで扱いやすくする。傾きを Δ y / Δ x {\displaystyle \Delta y/\Delta x} と表し、代数学的変換を施す。 y = m x + b y = ( Δ y ) ( Δ x ) x + b ( Δ x ) y = ( Δ y ) x + ( Δ x ) b 0 = ( Δ y ) x − ( Δ x ) y + ( Δ x ) b {\displaystyle {\begin{aligned}y&=mx+b\\y&={\frac {(\Delta y)}{(\Delta x)}}x+b\\(\Delta x)y&=(\Delta y)x+(\Delta x)b\\0&=(\Delta y)x-(\Delta x)y+(\Delta x)b\end{aligned}}} この最後の式を x と y の関数として次のように表せる。 f ( x , y ) = 0 = A x + B y + C {\displaystyle f(x,y)=0=Ax+By+C} ここで、各定数は次の通り。 A = Δ y {\displaystyle A=\Delta y} B = − Δ x {\displaystyle B=-\Delta x} C = ( Δ x ) b {\displaystyle C=(\Delta x)b} この場合、直線はA、B、Cという定数で定義され、 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} となる点の集合となる。直線上にない任意の座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} では f ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle f(x,y)\neq 0} となる。x と y が整数しかとらないなら、定数も全て整数で表され、この式には整数しか関与しないことになる点が重要である。 例えば y = 1 2 x + 1 {\displaystyle y={\frac {1}{2}}x+1} で表される直線は、 f ( x , y ) = x − 2 y + 2 {\displaystyle f(x,y)=x-2y+2} と書くこともできる。点 (2,2) はこの直線上にある。 f ( 2 , 2 ) = x − 2 y + 2 = ( 2 ) − 2 ( 2 ) + 2 = 2 − 4 + 2 = 0 {\displaystyle f(2,2)=x-2y+2=(2)-2(2)+2=2-4+2=0} また、点 (2,3) は直線上にはない。 f ( 2 , 3 ) = ( 2 ) − 2 ( 3 ) + 2 = 2 − 6 + 2 = − 2 {\displaystyle f(2,3)=(2)-2(3)+2=2-6+2=-2} 点 (2,1) も同様である。 f ( 2 , 1 ) = ( 2 ) − 2 ( 1 ) + 2 = 2 − 2 + 2 = 2 {\displaystyle f(2,1)=(2)-2(1)+2=2-2+2=2} (2,1) と (2,3) はこの直線をはさんで反対側にあり、どちら側になるかは f(x,y) の値が正か負かで決まる。すなわち、直線は平面を2つの半平面に分割するものであり、f(x,y) が負になる半平面と正になる半平面が存在する。この性質はアルゴリズムの導出において重要である。
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