代数函数

デジタル大辞泉

だいすう‐かんすう〔‐クワンスウ〕【代数関数】

読み方：だいすうかんすう

超越関数でない関数。多項式f（x,y）に対して、方程式f（x,y）＝0によって定まるxの関数yをいう。有理関数・無理関数など。

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代数関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 22:54 UTC 版)

数学において、代数関数（だいすうかんすう、英: algebraic function）は（多項式関数係数）多項式方程式の根として定義できる関数である。大抵の場合、代数関数は代数演算（和、差、積、商、分数冪）のみでできる有限項の式に表すことができ、例えば

$f(x)=1/x,\;f(x)={\sqrt {x}},\;f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}\,x^{1/3}}}$

代数関数 y の 3 つの分枝のグラフ。ここに y³ − xy + 1 = 0 で、領域は 3/2^2/3 < x < 50.

さらに、最終的には実の代数関数に興味があったとしても、複素数に頼らずに和、積、商、n 乗根を取ることによって関数を表す手段は存在しないかもしれない（casus irreducibilis 参照）。例えば、方程式

$y^{3}-xy+1=0\,$

• BNF: cb12287605h (データ)
• J9U: 987007553159905171
• LCCN: sh85052330
• NDL: 00561223

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代数函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/04 12:31 UTC 版)

「陰関数」の記事における「代数函数」の解説

詳細は「代数函数」を参照 代数函数は係数がそれ自身多項式であるような多項式方程式を満足する函数である。例えば一変数 x に関する代数函数は、陰伏方程式 a n ( x ) y n + a n − 1 ( x ) y n − 1 + ⋯ + a 0 ( x ) = 0 を y について解くことで与えられる。ここで、各係数 ai(x) は x の多項式である。代数函数は解析学および代数幾何学において重要な役割を果たす。代数函数の簡単な例は、単位円の方程式 x2 + y2 −1 = 0 を y について解いた y = ±√1 − x2 である。 ただし、この陽に表された解を特定することをせずとも、この単位円の陰伏的な解に言及することは可能である。例えば y に関する二次、三次および四次方程式に対しては同様に陽に表された解を求めることができるが、例えば y 5 + 2 y 4 − 7 y 3 + 3 y 2 − 6 y − x = 0 のような五次あるいはより高次の方程式においては、一般には解を陽にすることはできない。それにもかかわらず、陰伏多価函数 g を含む陰伏解 y = g(x) に関して考えることができる。