代数幾何学において
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
詳細は「ヒルベルトの零点定理」を参照 体上の多変数多項式環は代数幾何学において基本的な役割を演じる。可換環論やホモロジー代数の多くの結果が、多項式環のイデアルや多項式環上の加群の研究に端を発している。 ダフィット・ヒルベルトに端を発する多項式環 K[X1, …, Xn] のイデアルと Kn の代数的集合 との間の関係に関する基本的な結果のいくつかは零点定理（ドイツ語: Nullstellensatz）と呼ばれる。 （弱形：係数が代数閉体の場合）K を代数的閉体とすると K[X1, …, Xn] の任意の極大イデアル m は m = ( X 1 − a 1 , … , X n − a n ) , ( a = ( a 1 , … , a n ) ∈ K n ) {\displaystyle m=(X_{1}-a_{1},\dotsc ,X_{n}-a_{n}),\quad (a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {K} ^{n})} の形に書ける。 （強形）k は体でその代数閉包を K とし、I を多項式環 k[X1, …, Xn] のイデアル、V(I) を I によって定義される Kn の代数的集合とする。f を V(I) 上の任意の点で消えている多項式とすると、f のある冪がイデアル I に属す: f m ∈ I , ( ∃ m ∈ N ) . {\textstyle f^{m}\in I,\quad (\exists m\in \mathbb {N} ).} イデアルの根基の概念を用いれば、この結論は f が I の根基に属するということである。この形の零点定理の系として、代数閉体 K に対して K[X1, …, Xn] のイデアルの根基と n-次元アフィン空間 Kn の代数的集合との間に一対一対応が存在する。この対応は写像 I ↦ V ( I ) ( I ⊂ K [ X 1 , … , X n ] , V ( I ) ⊂ K n ) {\displaystyle I\mapsto V(I)\quad (I\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\quad V(I)\subset K^{n})} によって得られる。 多項式環の素イデアルが Kn の既約部分多様体に対応する。
※この「代数幾何学において」の解説は、「多項式環」の解説の一部です。
「代数幾何学において」を含む「多項式環」の記事については、「多項式環」の概要を参照ください。
代数幾何学において
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/25 09:25 UTC 版)
すべてのアフィンあるいは射影代数的集合は多項式環のイデアルの零点集合として定義される。この場合、既約成分は極小素イデアルに対応する多様体である。分解の一意性と有限性を証明できるようにするのはこの同一視である。この分解はイデアルの準素分解と強く関係している。 一般のスキーム論、すべてのスキームは既約成分の和集合であるが、成分の数が有限であるとは限らない。しかしながら、「実際」上起こるたいていのケースでは、すなわちすべてのネータースキームに対しては、既約成分は有限個である。
※この「代数幾何学において」の解説は、「既約成分」の解説の一部です。
「代数幾何学において」を含む「既約成分」の記事については、「既約成分」の概要を参照ください。
- 代数幾何学においてのページへのリンク
