基本的な結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 21:03 UTC 版)
計算可能実数の全体は実閉体を成す（Weihrauch 2000, p. 180）。計算可能実数上の等号は計算不可能であるが、相等しくない計算可能実数に対する大小関係は計算可能である。 計算可能実関数は計算可能実数を計算可能実数に写す。計算可能実関数の合成関数は再び計算可能となる。任意の計算可能実関数は連続である（Weihrauch 2000, p. 6）。 リーマン積分は計算可能な作用素である：換言すれば、任意の計算可能関数について、その積分を数値的に評価するアルゴリズムがある、 一様ノルムを取る演算もまた計算可能である。これがリーマン積分の計算可能性を導く。 実数値関数の微分作用素は計算不可能であるが、複素関数に対するそれは計算可能である。後者の結果はコーシーの積分公式および積分の計算可能性から従う。前者の否定的結果は（実数値関数上の）微分が不連続であるという事実による。これは、実解析と複素解析の間の隔たりを示している。また、しばしば前述の積分公式や自動微分によってバイパスされる、数値微分の困難さも示している。
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基本的な結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/29 07:19 UTC 版)
写像 f: X → Y と X の任意の部分集合 A, A1, A2 および Y の任意の部分集合 B, B1, B2 に関して f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2) f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2) f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2) f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2) f(A) ⊆ B ⇔ A ⊆ f −1(B) f(f −1(B)) ⊆ B f −1(f(A)) ⊇ A A1 ⊆ A2 ⇒ f(A1) ⊆ f(A2) B1 ⊆ B2 ⇒ f −1(B1) ⊆ f −1(B2) f −1(BC) = (f −1(B))C (f |A)−1(B) = A ∩ f −1(B). などが成立する。像や逆像に関するこの結果は、任意の部分集合族に対して交わりと結びに関するブール代数をうまく考えることができることを意味しており、部分集合の対だけでなくもっと一般に f ( ⋃ s ∈ S A s ) = ⋃ s ∈ S f ( A s ) {\displaystyle f\!\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})} f ( ⋂ s ∈ S A s ) ⊆ ⋂ s ∈ S f ( A s ) {\displaystyle f\!\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})} f − 1 ( ⋃ s ∈ S A s ) = ⋃ s ∈ S f − 1 ( A s ) {\displaystyle f^{-1}\!\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(A_{s})} f − 1 ( ⋂ s ∈ S A s ) = ⋂ s ∈ S f − 1 ( A s ) {\displaystyle f^{-1}\!\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(A_{s})} なども成立する。ここで S は無限集合でも（もちろん非可算無限でも）よい。 これらのことから、部分集合のブール代数に関して、逆像は束準同型となるが像のほうは半束準同型にしかならない（像は交わりを保つとは限らない）ことがわかる。
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基本的な結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 09:24 UTC 版)
R をネーター環または付値環とする。すると dim R [ x ] = dim R + 1 {\displaystyle \operatorname {dim} R[x]=\operatorname {dim} R+1} である。R がネーター環であるときは、これは下記の基本定理（特に、クルルの単項イデアル定理）から従う。しかしそれはまたより精密な結果からも従う。R の任意の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して以下が成り立つ。 ht ( p R [ x ] ) = ht ( p ) {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})} . p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に縮小する R [ x ] {\displaystyle R[x]} の任意の素イデアル q ⊋ p R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]} に対して、 ht ( q ) = ht ( p ) + 1 {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1} これは基本的な環論の範囲で証明できる(cf. Kaplansky, commutative rings)。ところで、これは特に次のことを言っている。 Spec R [ x ] → Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R} の各ファイバーにおいて、長さ ≥ 2 {\displaystyle \geq 2} の素イデアルの列は存在しえない。 アルティン環（例えば体）の次元は 0 なので、帰納的に次の公式を得る。アルティン環 R に対して dim R [ x 1 , … , x n ] = n . {\displaystyle \operatorname {dim} R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.}
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