リューローの定理

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リューローの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/04 09:38 UTC 版)

数学において、リューローの定理 (Lüroth's theorem) は、Jacob Lüroth にちなんで名づけられているが、体論の結果であって、有理多様体と関係がある。定理が述べているのは、 $K(X)$ の部分体でもある体 $K$ のすべての体拡大は単拡大であるというものである。

定理のステートメント

$K$ を体とし $M$ を $K$ と不定元 X に対して $K(X)$ の間の中間体とする。するとある有理関数 $f(X)\in K(X)$ が存在して $M=K(f(X))$ である。換言すれば、 $K$ と $K(X)$ の間のすべての中間拡大は単拡大である。

リューローの定理の証明は有理曲線の理論から容易に種数の幾何学的概念を用いて得られる。リューローの定理は一般に初等的でないと考えられているにも関わらず、体論の基本だけを使ったいくつかの短い証明が長い間見つかってきた。実質的にはすべてのこれらの単純な証明は原始多項式に関するガウスの補題を主要なステップとして使う（例えば を見よ）。

関連項目

• 有理多様体
• 有理曲線
• 有理曲面
• 双有理幾何学

参考文献

• Burau, Werner (2008), “Lueroth (or Lüroth), Jakob”, Complete Dictionary of Scientific Biography, http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902699.html 

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リューローの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/16 15:30 UTC 版)

「有理多様体」の記事における「リューローの定理」の解説

詳細は「リューローの定理」を参照 リューローの問題(Lüroth's problem)は、一つの変数 X の有理函数（体）K(X) 体の拡大 L がどのようなときに存在するかという問題で、19世紀にヤコブ・リューロー（英語版）(Jacob Lüroth)が解き、定理となっている。そのような（有理函数体 K(X) の拡大体 L が存在する）体は K に等しいか、または有理的、すなわち、ある体 F に対し L = K(F) である。幾何学のことばでは、定数写像ではない射影直線(projective line)から曲線 C への有理写像（英語版）(rational map)は、C が種数 0 のときにのみ起きる。この事実は、リーマン・フルヴィッツの公式から幾何学的に導くことができる。 リューローの定理は非基本的な結果と考えられることもあるが、長きにわたりいくつかの基本的な短い証明が考えられてきた。これらの簡単な証明は、体の基底と原始多項式のガウスの補題のみを使う。（例えばを参照）