性質と定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/23 14:46 UTC 版)
L = K (α) を単拡大とする。 この拡大が有限であれば、α は K 上代数的である（α のベキたちの間に線型従属な関係があり α で消える多項式が得られる）； L は α の最小多項式 P の根体に同型である（この体は多項式環 K[X] の P で生成されたイデアルによる商として得られる）。 とくに、α が K 上代数的な元であれば、体 K(α) は "K[α]"、すなわち a n α n + ⋯ + a 1 α + a 0 {\displaystyle a_{n}\alpha ^{n}+\dotsb +a_{1}\alpha +a_{0}} 、ただし αi ∈ K、の形で表されるもの全体の集合、に他ならない。 無限次拡大であれば、α は K 上超越的である； 拡大体は K 上の有理関数体 K(X) に同型である（実際、X を α に写す K[X] から L への K-代数準同型は単射であるので分数体 K(X) に拡張し、このように得られた K(X) から L への体準同型は全射である）。 K と L の間のすべての中間拡大は単拡大である。これは α が代数的なときだけでなく、α が超越的なときも正しい。後者の主張はリューローの定理である。 素数次のすべての有限拡大は単拡大である。 原始元の定理より、すべての有限分離拡大は単拡大である。 有限拡大 L/K が単拡大であることと K と L の間に有限個しか中間体がないことは同値である, , 。
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性質と定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:25 UTC 版)
共変関手(加法的である必要はない)が左完全であるのは、有限極限を有限極限にうつすときであり、またそのときに限る。同様に右完全であるのは、有限余極限を有限余極限にうつすときであり、そのときに限る。反変関手が左完全であるのは、有限余極限を有限極限にうつすときであり、そのときに限る。同様に右完全であるのは、有限極限を有限余極限にうつすときであり、そのときに限る。関手が完全であるのは左完全かつ右完全のときであり、そのときに限る。 左完全関手の完全関手にならなさの度合いは右導来関手で測ることができる。同様に右完全関手の場合は左導来関手で測ることができる。 次の事実があるため、左完全関手と右完全関手はありふれた概念である。関手Fが関手Gの左随伴であるならば、Fは右完全であり、Gは左完全である。
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