性質と例

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性質と例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)

「位相空間」の記事における「性質と例」の解説

以下が成立する： 第二可算公理を満たす⇒ 第一可算公理を満たし、かつ可分 距離空間⇒ 第一可算公理を満たす しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。 有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。 一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。 しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。

性質と例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 05:30 UTC 版)

「σコンパクト空間」の記事における「性質と例」の解説

すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (Rn) はσコンパクトだがコンパクトでなく、実数直線上の下極限位相（英語版）はリンデレーフだが σ コンパクトでない。実は、補可算位相（英語版）はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもない。 σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである。 ハウスドルフベール空間がσコンパクトでもあれば少なくとも1点で局所コンパクトでなければならない。 G が位相群で G が1点で局所コンパクトであれば、G はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、G がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、G は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。 直前の性質より例えば Rω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、Rω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。 すべての半コンパクト空間（英語版）はσコンパクトである。しかしながら、逆は正しくない。例えば、有理数全体からなる空間に通常の位相を入れると σ コンパクトだが半コンパクトではない。 σコンパクト空間の有限個の積はσコンパクトである。しかしながら、σコンパクト空間の無限個の積はσコンパクトとは限らない。 σコンパクト空間 X が第二類(resp. ベール) であることと X が局所コンパクトであるような点の集合が X において空でない（resp. 稠密である）ことは同値である。