連結成分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:21 UTC 版)
ローレンツ群 O(1, 3) はリー群であるから、滑らかな多様体として位相的に説明することができる。多様体としては、四つの連結成分を持っている。直感的には、このことは四つの位相的に分離した部分から成ることを意味する。 四つの連結成分はその要素がもつ二つの変換特性により分類される。 ある種類の要素は時間反転ローレンツ変換により逆転される。たとえば、未来を向いた時間的ベクトルは過去を向いたベクトルに反転される。 ある種類の要素は向きを非固有ローレンツ変換 (improper Lorentz transformations) により逆転される。たとえば、特定の四脚場（英語版）がそれにあたる。 時間の方向を保存するローレンツ変換は順時ローレンツ変換 (orthochronous Lorentz transformations) と呼ばれる。順時ローレンツ変換が成す部分群はしばしば O+(1, 3) と表記される。向きを保存するものは固有ローレンツ変換 (proper Lorentz transformations) と呼ばれ、線形変換としての行列式は +1（非固有ローレンツ変換では −1）となる。固有ローレンツ変換の成す部分群は SO(1, 3) と表記される。 向きと時間の方向を両方を保存する全てのローレンツ変換の成す部分群は、固有順時ローレンツ群 (proper, orthochronous Lorentz group) もしくは制限ローレンツ群 (restricted Lorentz group) と呼ばれ、 SO+(1, 3) と表記される。（SO(1, 3)もしくは O(1, 3) とさえ書いていても実際には SO+(1, 3) の意味で書いている著者もいるので注意。） これら四つの連結成分の集合には、商群 O(1, 3)/SO+(1, 3) としての群構造が与えられ、これはクラインの四元群と同型である。 O(1, 3) の全ての元は、固有等時ローレンツ変換と離散群 {1, P, T, PT} の元との半直積により書ける。ここで、 P および T はそれぞれ空間反転および時間反転作用素である。 P = diag(1, −1, −1, −1), T = diag(−1, 1, 1, 1). したがって、任意のローレンツ変換は固有順時ローレンツ変換に、これら二つの演算子を作用させるかさせないかを選び、どの連結成分に属するかを決めることにより表現できる。このパターンは有限次元リー群において典型的である。
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連結成分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/17 15:20 UTC 版)
空でない位相空間の（包含による順序によって）極大な連結部分集合をその空間の連結成分 (connected component) という。紛れのおそれの無いときはこれを単に成分 (component) とも呼ぶ。明らかなことであるが、ある連結成分が X 全体に一致するとき、X は連結である。 任意の位相空間 X の連結成分たちは X を分割する、すなわち、互いに素で、空でなく、合併が全空間となる。同じことだが、X の点が同じ連結成分に属するという関係は、X 上の同値関係を定めるということもできる。任意の成分はもとの空間の閉部分集合である。したがって、成分の個数が有限であれば、各成分は開でもある。しかしながら、その個数が無限であれば、成分が開とは限らない。例えば、有理数全体の集合の連結成分は一点集合であるが、これは開でない。 Γ x {\displaystyle \Gamma _{x}} を位相空間 X の点 x の連結成分とし、 Γ x ′ {\displaystyle \Gamma _{x}'} を x を含むすべての開かつ閉集合の交わりとする（x のquasi-componentと呼ばれる）。すると Γ x ⊂ Γ x ′ {\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}} であり、等号は X がコンパクトハウスドルフあるいは局所連結であれば成り立つ。
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