群構造とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

群構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/04/04 01:10 UTC 版)

ある体 F に成分を持つ n×n の一般化置換行列の集合は、非特異対角行列 Δ(n, F) の群が正規部分群を構成するような一般線型群 GL(n,F) の部分群を構成する。実際、一般化置換行列は対角行列の正規化群であり、このことは一般化置換行列が、対角行列が正規であるような GL の「最大の」部分群であることを意味する。一般化置換行列の抽象群は、F× と Sn の環積である。具体的にこのことは、Δ(n, F) と対称群 Sn の半直積としてそれが与えられることを意味する： Δ(n, F) ⋉ Sn, ここで Sn は座標を置換する作用で、対角行列 Δ(n, F) は n-fold product (F×)n と同型である。より正確に言うと、一般化置換行列は、この抽象環積の（忠実な）線型表現、すなわち、抽象群を行列の部分群として実現するものである。

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群構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/08 14:45 UTC 版)

「板石積石棺墓」の記事における「群構造」の解説

板石積石棺墓1基が単独で造営されることはほぼ無く、2〜3基、或いは十数基で密集し群をなすのが通常である。したがって遺跡名は「（地名）＋板石積石棺墓群」となるが、土壙墓や地下式横穴墓などの他時期の墓、或いは他種の遺溝と伴出することも多いため、単に「（地名）＋遺跡」とされる場合もある。

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群構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/08 14:04 UTC 版)

「地下式横穴墓」の記事における「群構造」の解説

地下式横穴墓1基が単独で造営されることはほぼなく、2 - 3基、あるいは100基以上で密集し群をなすのが通常である。したがって遺跡名は「（地名）+地下式横穴墓群」とされる。また上述のように、数基の地下式横穴が円形にグループを作る例や、円墳や前方後円墳などの高塚古墳の墳裾に竪坑を掘り、玄室主軸を古墳の墳頂部に向け、あたかも墳丘に従属、または墳丘を共有するように造営される例も知られている。

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群構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/03 11:31 UTC 版)

「三次元球面」の記事における「群構造」の解説

単位四元数全体の成す集合と見なすとき、S3 は重要な構造として、四元数の乗法構造を持つことにる。単位四元数の全体は乗法のもとで閉じている（積閉集合である）から、S3 自身に群の構造が入ることになる。さらに言えば、四元数の乗法は連続、さらに滑らかであるから、S3 は位相群、さらに実リー群となる: S3 は三次元の非可換（英語版）コンパクトリー群である。リー群としての S3 はしばしば斜交群 Sp (1) やユニタリ群 U(1, H) などと書かれる。このようにリー群の構造を入れることのできる超球面は、単位円 S1—単位複素数全体の成す集合と見て—および S3—単位四元数の全体として—のみであることがわかる。同様の議論により、たとえば S7 を単位八元数全体の成す集合と見てリー群とすることができそうにも思われるが、これは八元数の乗法が結合性を持たないために正しい主張とはならない。八元数構造から S7 に入る重要な性質としては平行化可能性（英語版）があり、平行化可能な超球面は S1, S3, S7 に限られる。四元数の行列表現を用いれば、S3 も行列表現することができるが、そのような表現の一つにパウリ行列を用いた表現 x 1 + x 2 i + x 3 j + x 4 k ⟼ ( x 1 + i x 2 x 3 + i x 4 − x 3 + i x 4 x 1 − i x 2 ) {\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\longmapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}} がある。この写像は、四元数体 ℍ から 2 × 2 行列環 M(2; ℂ) への単射な多元環準同型を与える。この行列表現では四元数 q の絶対値 ‖ q ‖ が q の表現行列の行列式の平方根に等しいという性質がある。したがってこの行列表現から、単位四元数全体の成す集合は行列式 1 の表現行列全体として得ることができるが、それはちょうど特殊ユニタリ群 SU (2) であるから、リー群としての S3 は SU (2) に同型となることがわかる。ホップ座標系 (η, ξ1, ξ2) を用いるならば、SU (2) の任意の元を ( e i ξ 1 sin ⁡ η e i ξ 2 cos ⁡ η − e − i ξ 2 cos ⁡ η e − i ξ 1 sin ⁡ η ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}} の形に書くことができる。同じ結果は、SU (2) の各元の行列表現をパウリ行列の線型結合として表す方法でも得られる。任意の元 U ∈ SU (2) は U = α 0 I + ∑ i = 1 3 α i J i {\textstyle U=\alpha _{0}I+\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}} の形に書けることがわかるが、U の行列式が +1 という条件は、この式の係数列 (αi) が三次元球面上にあるという制約を含意する。

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群構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)

「楕円曲線」の記事における「群構造」の解説

射影平面で考えると、すべての滑らかな三次曲線上の群構造を定義することができる。射影平面上、楕円曲線がヴァイエルシュトラスの標準形 Y 2 Z + a 1 X Y Z + a 3 Y Z 2 = X 3 + a 2 X 2 Z + a 4 X Z 2 + a 6 Z 3 {\displaystyle Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}} によりあらわされるとき、そのような三次曲線は斉次座標（英語版） [0 : 1 : 0] である無限遠点 O を持ち、群の単位元となる。曲線は x-軸で対称であるので、任意の点 Pが与えられると、−P はその反対側の点として取ることができる。−O は O とする。 P と Q が曲線上の二点であれば、一意に第三の点 P + Q を次の方法で定義することができる。まず、P と Q を通る直線を引く。この直線は一般に第三の点 R で曲線と交わる。P + Q を R の反対の点である −R とする。この加法の定義は、ほとんどの場合はうまく働くが、いくつかの例外がある。一つ目の例外は、加算する点の片方が O であるときである。このとき、P + O = P = O + P と定義し、O は群の単位元となる。第二の例外は、P と Q が互いに反対側の点である場合である。この場合は、P + Q = O と定義する。最後の例外は、P = Q の場合であり、このとき一点しかないため、これを通る直線を一意に定義できない。そこで、この点での曲線の接線を使う。ほとんどの場合、接線は第二の点 R で曲線と交叉するため、反対の点をとることができる。しかしながら、P がたまたま変曲点（そこで曲線の凹み方が変わるような点）であるようなときは、接線は P でしか曲線と交叉しない。そこで、R を P 自身として、P + P を単純に点の反対の点とする。ヴァイエルシュトラス標準形ではない三次曲線に対しては、九つある変曲点のうちの一つを単位元 O とすることで群構造を定義することができる。射影平面内では、多重度を考慮にいれると、三次曲線と任意の直線は三つの点で交叉する。点 P に対し、−P は O と P を通る第三の点として一意に定義される。そして、任意の P と Q に対する P + Q は、R を P と Q を含む直線上の第三の点としたとき、P + Q = −R として定義される。 K をその上で曲線が定義される体とし（つまり、曲線を定義する式の係数 K の中にある）、曲線を E で表すと、E 上の点であり、かつx座標とy座標の値が共に K 上にある点（無限遠点を含む）を、E の K-有理点とよぶ。K-有理点の集合は、E(K) で表す。これも群を形成する。なぜならば、多項式の性質から、P が E(K) の点であれば −P も E(K) の点であり、P と Q の 2点が E(K) の点であれば、第三の点も E(K) の点になるからである。加えて、K が L の部分体であれば、E(K) は E(L) の部分群である。上記の群は、幾何学的に記述されると同様に代数的にも記述できる。体 K （体の標数は 2 でも 3 でもないとする）上の曲線 y2 = x3 + ax + b が与えられるとし、曲線上の点を P = (xP, yP) と Q = (xQ, yQ) として、まず、xP ≠ xQ とする（下図の一つ目のグラフ）。s を P と Q を含む直線の傾き、つまり、 s = y P − y Q x P − x Q {\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}} とする。K は体であるので、s はうまく定義できる。すると、R = (xR, yR) = −(P + Q) を x R = s 2 − x P − x Q y R = y P + s ( x R − x P ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{R}&=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}} により定義することができる。 xP = xQ の場合は（下の三つ目と四つ目のグラフ）、二つの選択肢がある。yP = −yQ のとき（yP = yQ = 0 を含む）、和は O と定義される。つまり、曲線上の各点の逆元は、x-軸に対して線対称の位置にある。yP = yQ ≠ 0 のときは（下の二つ目のグラフ）、R = (xR, yR) = −(P + P) = −2P は、 s = 3 x P 2 + a 2 y P x R = s 2 − 2 x P y R = y P + s ( x R − x P ) {\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}} により与えられる。