輪積
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/27 01:45 UTC 版)
数学の群論における輪積（りんせき、英: wreath product; リース積）は、半直積をもとにして定義される二つの群の特殊化された積である。置換群の分類においてリース積は重要な道具であり、またリース積から群の興味深い例がさまざまに構成される。
二つの群 A および H が与えられたとき、それら輪積には非制限輪積 A Wr H (あるいは A ≀ H) と制限輪積 A wr H の二種類が考えられる。さらに H-作用を持つ集合 Ω が与えられれば、A WrΩ H あるいは A wrΩ H で表されるそれぞれの輪積の一般化が存在する。
定義
二つの群 A, H と集合 Ω で、H は Ω の上に作用するものとし、K は集合 Ω を添字集合とする A のコピー Aω := A の直積
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AutT ≅ (S2 ≀ S2) ≀ S4 - ランプライター群は制限輪積 ℤ2 ≀ ℤ である
- 一般化された対称群 ℤm ≀ Sn は、この輪積の底が ℤm のコピーの n-重直積
ℤmn = ℤm × ... × ℤmに n-次対称群の作用 φ: Sn → Aut(ℤmn) がφ(σ)(α1,..., αn) := (ασ(1),..., ασ(n))で与えられるものである[3]。
- 超八面体群 S2 ≀ Sn は、Sn の {1,...,n} への作用は自然なものとして、二次の対称群 S2 は巡回群 ℤ2 に同型であるから、超八面体群は一般化対称群の特別な場合になる[4]。
- 素数 p と自然数 n ≥ 1 に対し、P は pn-次対称群 Spn のシロー p-部分群とすると、P は ℤp の n 個のコピーの反復正則輪積（輪冪）Wn = ℤp ≀ ℤp ≀ … ≀ ℤp に同型である。ここで、W1 := ℤp および任意の k ≥ 2 に対して Wk := Wk-1 ≀ ℤp である[5][6]。
- ルービックキューブ群は輪積の直積 (ℤ3 ≀ S8) × (ℤ2 ≀ S12) の指数の小さい部分群で、それぞれの因子は頂点の対称性が 8 と辺の対称性が 12 個それぞれあることに対応する。
注
- ^ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69-82 (1951)
- ^ Rotman 1995, p. 172.
- ^ J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), pp. 615-620
- ^ P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1-42.
- ^ Rotman 1995, p. 176.
- ^ L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)
参考文献
- Rotman, Joseph J (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. 148 (Fourth ed.). Springer. ISBN 978-1-4612-8686-8. MR 1307623. Zbl 0810.20001
外部リンク
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