抽象群構造とは? わかりやすく解説

抽象群構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/09/09 21:15 UTC 版)

円周群」の記事における「抽象群構造」の解説

本節では位相構造考えない単に代数的な群としての円周群構造について扱う。 円周群 T は可除群である。そのねじれ部分群任意の正整数亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である。可除群の構造定理と、選択公理用いれば、T が Q/Z と適当な数の Q のコピーとの直和同型となることが分かる[要出典]。このときの Q のコピーの数は(直和群の濃度正しくなるためには)連続体濃度 𝖈 でなければならないが、Q の連続体濃度 𝖈 個のコピー直和は R に同型(R が Q 上の 𝖈-次元ベクトル空間であるのと同様)なのだから、代数的群の同型 T ≅ R ⊕ ( Q / Z ) {\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q/Z} )} を得る。同様にして、同型 C × ≅ R ⊕ ( Q / Z ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q/Z} )} も証明できる(C× もまた加除アーベル群で、そのねじれ部分群は T のねじれ部分群同一であることによる)。

※この「抽象群構造」の解説は、「円周群」の解説の一部です。
「抽象群構造」を含む「円周群」の記事については、「円周群」の概要を参照ください。

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