ホップ座標系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/03 11:31 UTC 版)
半径 r が 1 のとき、別の超球面座標系 (η, ξ1, ξ2) が、S3 の C2 への埋め込みを用いて以下のように与えられる。複素座標 (z1, z2) ∈ C2 をいま z 1 = e i ξ 1 sin η z 2 = e i ξ 2 cos η {\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \end{aligned}}} の形に取る。これはまた R4 の点として x 0 = cos ξ 1 sin η x 1 = sin ξ 1 sin η x 2 = cos ξ 2 cos η x 3 = sin ξ 2 cos η {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}} と書くこともできる。ここに η は 0 から π/2 の範囲を動き、また ξ1 および ξ2 は 0 と 2π の間の任意の値をとることができる。これらの座標系は、三次元球面をホップ束（英語版） S 1 → S 3 → S 2 {\textstyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}} として記述するのに有用である。 η を 0 と π/2 の間の任意の値で止めて考えるとき、座標 (ξ1, ξ2) は二次元トーラスをパラメタ付ける。ξ1 および ξ2 の各々を一定とすることで描かれる円形の軌跡は、トーラス上の直交格子を描く（図を参照）。退化する場合（η が 0 または π/2 のとき）これらの座標は円周を描く。 この座標系のもとで三次元球面上の球面距離は d s 2 = d η 2 + sin 2 η d ξ 1 2 + cos 2 η d ξ 2 2 {\displaystyle {\mathit {ds}}^{2}={\mathit {d\eta }}^{2}+\sin ^{2}\eta \,{\mathit {d\xi }}_{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,{\mathit {d\xi }}_{2}^{2}} で、また体積要素は d V = sin η cos η d η ∧ d ξ 1 ∧ d ξ 2 {\displaystyle {\mathit {dV}}=\sin \eta \cos \eta \,{\mathit {d\eta }}\wedge {\mathit {d\xi }}_{1}\wedge {\mathit {d\xi }}_{2}} で、それぞれ与えられる。 ホップファイブレーション（英語版）での間を埋める円周たち (interlocking circles) を得るには、上記の方程式を単純に z 1 = e i ( ξ 1 + ξ 2 ) sin η z 2 = e i ( ξ 1 − ξ 2 ) cos η {\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{1}-\xi _{2})}\cos \eta \end{aligned}}} と置きかえればよい。 この場合 η, ξ1 がどの円かを特定し、ξ2 が各円に沿った位置を特定する。ξ1 または ξ2 の何れかについてぐるりと一周 (0 から 2π まで) すれば、トーラスの両の軸となる全円が描かれる。
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