ホップ代数の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/27 08:43 UTC 版)
二つの表現、例えば σ: A → gl(V), τ: A → gl(W) を考える。テンソル積表現 ρ: x ↦ σ(x) ⊗ τ(x) を、テンソル積空間への作用が ρ ( x ) ( v ⊗ w ) = ( σ ( x ) ( v ) ) ⊗ ( τ ( x ) ( w ) ) {\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w))} から定められるものとして定めようとしても、k ∈ K に対して ρ ( k x ) = σ ( k x ) ⊗ τ ( k x ) = k σ ( x ) ⊗ k τ ( x ) = k 2 ( σ ( x ) ⊗ τ ( x ) ) = k 2 ρ ( x ) {\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)} となることから、このような ρ は線型ではない。この問題を回避して線型性を取り戻す方法の一つとして、付加構造として写像 Δ: A → A × A を考え、テンソル積表現を ρ = ( σ ⊗ τ ) ∘ Δ {\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta } と定めることが考えられる。ただし Δ は余乗法である。こうして、双代数 (bialgebra) の概念が得られる。結合代数の定義との一貫性を持つためには、余代数は余結合的でなければならないし、代数が単位的ならば余代数も同様に単位的である必要がある。注意すべきは、双代数においては乗法と余乗法の間には関連が無くても構わないことである。そしてそれらの間の関係としてよく課される条件（対蹠を定めること）によってホップ代数の概念が構築される。
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