テンソル積空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/03 23:08 UTC 版)
「クレブシュ–ゴルダン係数」の記事における「テンソル積空間」の解説
V 1 {\displaystyle V_{1}} を以下の状態で張られる 2 j 1 + 1 {\displaystyle 2j_{1}+1} 次元ベクトル空間とする。 | j 1 m 1 ⟩ ( m 1 = − j 1 , − j 1 + 1 , … j 1 ) {\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle \quad (m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\ldots j_{1})} V 2 {\displaystyle V_{2}} を以下の状態で張られる 2 j 2 + 1 {\displaystyle 2j_{2}+1} 次元ベクトル空間とする。 | j 2 m 2 ⟩ ( m 2 = − j 2 , − j 2 + 1 , … j 2 ) {\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle \quad (m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\ldots j_{2})} これらの空間のテンソル積 V 12 ≡ V 1 ⊗ V 2 {\displaystyle V_{12}\equiv V_{1}\otimes V_{2}} は ( 2 j 1 + 1 ) ( 2 j 2 + 1 ) {\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)} 次元のカップリングしていない基底を持つ。 | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ≡ | j 1 m 1 ⟩ ⊗ | j 2 m 2 ⟩ ( m 1 = − j 1 , … j 1 , m 2 = − j 2 , … j 2 ) {\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle \quad (m_{1}=-j_{1},\ldots j_{1},\quad m_{2}=-j_{2},\ldots j_{2})} V 12 {\displaystyle V_{12}} で作用する角運動量演算子は以下で定義される。 ( j i ⊗ 1 ) | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ≡ ( j i | j 1 m 1 ⟩ ) ⊗ | j 2 m 2 ⟩ {\displaystyle ({\textrm {j}}_{i}\otimes 1)|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv (j_{i}|j_{1}m_{1}\rangle )\otimes |j_{2}m_{2}\rangle } ( 1 ⊗ j i ) | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ≡ | j 1 m 1 ⟩ ⊗ j i | j 2 m 2 ⟩ ( i = x , y , z ) {\displaystyle (1\otimes {\textrm {j}}_{i})|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes j_{i}|j_{2}m_{2}\rangle \quad \quad (i=x,y,z)} 全角運動量演算子は以下で定義される。 J ^ i ≡ j i ⊗ 1 + 1 ⊗ j i ( i = x , y , z . ) {\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{i}\equiv {\textrm {j}}_{i}\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{i}\quad \quad (i=x,y,z.)} 全角運動量演算子は以下の交換関係を満たす。 [ J ^ k , J ^ l ] = i ℏ ϵ k l m J ^ m ( k , l , m ∈ ( x , y , z ) ) {\displaystyle [{\hat {\textrm {J}}}_{k},{\hat {\textrm {J}}}_{l}]=i\hbar \epsilon _{klm}{\hat {\textrm {J}}}_{m}\quad \quad (k,l,m\in (x,y,z))} よって全角運動量の同時固有状態が存在する。 J ^ 2 | ( j 1 j 2 ) J M ⟩ = ℏ 2 J ( J + 1 ) | ( j 1 j 2 ) J M ⟩ {\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\hbar ^{2}J(J+1)|(j_{1}j_{2})JM\rangle } J ^ z | ( j 1 j 2 ) J M ⟩ = ℏ M | ( j 1 j 2 ) J M ⟩ ( M = − J , … , J ) {\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{z}|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\hbar M|(j_{1}j_{2})JM\rangle \quad \quad \quad (M=-J,\ldots ,J)} これは J {\displaystyle J} が以下を満たさなければならないことに由来する。 | j 1 − j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 {\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}} 全角運動量の同時固有状態の総数は V 12 {\displaystyle V_{12}} の次元と等しい。 ∑ J = | j 1 − j 2 | j 1 + j 2 ( 2 J + 1 ) = ( 2 j 1 + 1 ) ( 2 j 2 + 1 ) {\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)} 全角運動量の同時固有状態は V 12 {\displaystyle V_{12}} の正規直交基底を作る。 ⟨ J 1 M 1 | J 2 M 2 ⟩ = δ J 1 J 2 δ M 1 M 2 {\displaystyle \langle J_{1}M_{1}|J_{2}M_{2}\rangle =\delta _{J_{1}J_{2}}\delta _{M_{1}M_{2}}}
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