計算による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/19 03:37 UTC 版)
弱測定の計算は以上の「手順」を踏まえて行う。まず1.で述べた初期状態の用意だが射影測定なので適当な純粋状態である。これを | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } と記述する。2.では先に述べたように「測定器」を取り付け、測定器と系が相互作用するというステップを記述することになる。これに対して測定器を | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } と記述し、相互作用する前の、「測定器を取り付け」た状態をこれらのテンソル積 | i ⟩ ⊗ | ψ ⟩ {\displaystyle |i\rangle \otimes |\psi \rangle } と記述する。 このような状態に対して、相互作用を与える。相互作用は量子力学的な状態を別の量子力学的な状態へ変質させるのでそのようなものの中から適当なものを考えなくてはならない。 まず、量子力学はもとのヒルベルト空間のテンソル積空間を状態空間と考えるため、テンソル積空間上の演算子である。また、通常は時間発展はユニタリー演算子である。したがって、テンソル積空間上のユニタリー演算子から探すのが普通であり、これまで行われてきた実験モデルも含め、基本的には「ノイマン型」すなわち e − i g A ^ ⊗ Q ^ {\displaystyle e^{-ig{\hat {A}}\otimes {\hat {Q}}}} を選ぶ。ここでgは実定数で A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} は | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } のいるヒルベルト空間、および Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} は | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } のいるヒルベルト空間上で作用するエルミート演算子である。 このノイマン型測定演算子が作用した後の状態すなわち e − i g A ^ ⊗ Q ^ | i ⟩ ⊗ | ψ ⟩ {\displaystyle e^{-ig{\hat {A}}\otimes {\hat {Q}}}|i\rangle \otimes |\psi \rangle } が2.の測定後の状態である。このような状態は演算子のテンソル積および指数の定義から ∑ k = 0 ∞ ( − i g ) k k ! ( A ^ k | i ⟩ ) ⊗ ( Q ^ k | ψ ⟩ ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-ig)^{k}}{k!}}({\hat {A}}^{k}|i\rangle )\otimes ({\hat {Q}}^{k}|\psi \rangle )} である。 このあと、3.を施す。3.は事後選択であり、事後選択は「物理系を終了状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } に射影するが測定器は何もしない」というモチベーションから | f ⟩ ⟨ f | ⊗ i d {\displaystyle |f\rangle \langle f|\otimes id} なる演算子で記述したいが、実際には「射影公理」に対応して正規化係数が前に現れる点には注意したい。その部分については後ほど調整する。いずれにせよ物理系を射影し、測定器を何もしない演算子をほどこすことで ( | f ⟩ ⟨ f | ⊗ i d ) ( ∑ k = 0 ∞ ( − i g ) k k ! ( A ^ k | i ⟩ ) ⊗ ( Q ^ k | ψ ⟩ ) ) {\displaystyle (|f\rangle \langle f|\otimes id)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-ig)^{k}}{k!}}({\hat {A}}^{k}|i\rangle )\otimes ({\hat {Q}}^{k}|\psi \rangle )\right)} = | f ⟩ ⊗ ( ∑ k = 0 ∞ ( − i g ) k k ! ⟨ f | A ^ k | i ⟩ ⋅ ( Q ^ k | ψ ⟩ ) ) =: | f ⟩ ⊗ | ψ ′ ⟩ {\displaystyle =|f\rangle \otimes \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-ig)^{k}}{k!}}\langle f|{\hat {A}}^{k}|i\rangle \cdot ({\hat {Q}}^{k}|\psi \rangle )\right)=:|f\rangle \otimes |\psi '\rangle } このようにして作った状態に対して定義された | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } を用いて適当な物理量の期待値を計算することになる。
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