計算のテクニック
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/21 15:49 UTC 版)
「グロモフ・ウィッテン不変量」の記事における「計算のテクニック」の解説
一般に、グロモフ・ウィッテン不変量は計算することが難しい。グロモフ・ウィッテン不変量は、任意の一般的な概複素構造 J に対して定義されると、 ∂ ¯ j , J {\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}} 作用素の線形化 D は全射である。それらは、特別に選択された J について計算されねばならない。最も便利な方法は、非生成的な可積分性を持つといった、特別な性質を持った J を選択することである。実際、計算はしばしば代数幾何学のテクニックを使いケーラー多様体の上で実行される。 しかし、特別な J は全射ではない D と、従って期待するよりも大きな擬正則曲線のモジュライ空間を引き起こすかもしれない。大まかには、障害バンドルと呼ばれる D の余核から形成することで、この効果を補正し、従って、障害バンドルのオイラー類の積分としてGW不変量を再現できる。このアイデアをさらに詳しく知るには、倉西構造を使い重要なテクニカルな議論をする必要がある。 主要な計算上のテクニックは局所化である。これは X がトーリック多様体のときに適用され、このことは X が複素トーラス上が上に作用しているか、あるいは最低局所トーリックを意味する。すると、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とラウル・ボット(Raoul Bott)のアティヤ・ボットの不動点定理を使い、還元、もしくは局所化し、GW不変量の計算を作用の固定点軌跡上の積分として計算する。 もうひとつのアプローチは、より容易に計算することができるGW不変量を持つ、ひとつ以上の他の空間へ X を関連付けることによりシンプレクティック手術を施すことである。もちろん、まず、手術の下で不変量がどのように振る舞うかを理解せねばならない。そのような応用のため、しばしばより精巧な相対GW不変量が使われ、相対GW不変量は実余次元 2 の X のシンプレクティック部分多様体に沿った特定の接触条件を持つ曲線の数を数える。
※この「計算のテクニック」の解説は、「グロモフ・ウィッテン不変量」の解説の一部です。
「計算のテクニック」を含む「グロモフ・ウィッテン不変量」の記事については、「グロモフ・ウィッテン不変量」の概要を参照ください。
- 計算のテクニックのページへのリンク
