計算の手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/23 14:48 UTC 版)
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト–ファン・カンペンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理（英語版）とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。 トーラスなどのいくつかの空間では、すべての高次ホモトピー群（すなわち2次以上のホモトピー群）は自明である。これらはいわゆるaspherical space（英語版）である。しかしながら、球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。 n連結（英語版）空間のあるホモトピー群はフレヴィッツの定理を用いてホモロジー群と比較して計算できる。
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