計算の順序
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/05 08:43 UTC 版)
a ↑ 3 n = a ↑ 2 a ↑ 2 ⋯ ↑ 2 a ↑ 2 a ⏟ n = a ↑ 2 ( a ↑ 2 ( ⋯ a ↑ 2 ( a ↑ 2 a ) ) ) = a ↑ 2 a ↑ 2 a ↑ 2 ⋯ ↑ 2 a ↑ 2 a ⏟ n − 1 = a ↑ 2 a ↑ 3 ( n − 1 ) a ↑ 3 n = a a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ 高さ n = ( ( ( a a ) ⋅ ⋅ ⋅ ) a ) a {\displaystyle {\begin{aligned}a\uparrow ^{3}n&=\underbrace {a\uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}\cdots \uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}a} _{n}=a\uparrow ^{2}{\biggl (}a\uparrow ^{2}{\Bigl (}\cdots a\uparrow ^{2}{\bigl (}a\uparrow ^{2}a{\bigr )}{\Bigr )}{\biggr )}\\&=a\uparrow ^{2}\underbrace {a\uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}\cdots \uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}a} _{n-1}=a\uparrow ^{2}a\uparrow ^{3}\left(n-1\right)\\a\uparrow ^{3}n&=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a}a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高さ}}n}={^{\left({^{\left({^{^{^{\left({^{a}a}\right)}\cdot }\cdot }\cdot }\right)}a}\right)}a}\end{aligned}}} テトレーションは結合法則を満たさないため、計算の順序を変えると値が変わってしまうことに注意。 3 ↑ 2 ( 3 ↑ 2 2 ) = 3 ↑ 2 ( 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 2 27 = 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 ⏟ 高さ 27 ( 3 ↑ 2 3 ) ↑ 2 2 = ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) ↑ 2 2 = 7625597484987 ↑ 2 2 = ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) ↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ ( 3 ↑ 3 × ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) ) = 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 + 3 ↑ 3 ) ) = 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 + 27 ) ) = 3 ↑ ( 3 ↑ 30 ) {\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow ^{2}\left(3\uparrow ^{2}2\right)=&3\uparrow ^{2}\left(3\uparrow 3\right)=3\uparrow ^{2}27=\underbrace {3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{3^{3}}}}}}}}} _{{\text{高さ}}27}\\\left(3\uparrow ^{2}3\right)\uparrow ^{2}2{~\,}=&\left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)\uparrow ^{2}2=7625597484987\uparrow ^{2}2\\=&\left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)\uparrow \left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)=3\uparrow \left(3\uparrow 3\times \left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)\right)=3\uparrow \left(3\uparrow \left(3+3\uparrow 3\right)\right)\\=&3\uparrow \left(3\uparrow \left(3+27\right)\right)=3\uparrow \left(3\uparrow 30\right)\end{aligned}}} 二番目の式のように左から（下から）計算したものは、五階の下付きハイパー演算 a ( 5 ) n {\displaystyle a{_{(5)}}n} となる。
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