計算を用いた体積と表面積の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 14:40 UTC 版)
「球冠」の記事における「計算を用いた体積と表面積の導出」の解説
緑の領域を回転させると、高さ h {\displaystyle h} で球の半径 r {\displaystyle r} の球冠を作ることができる 体積と表面積の式は次の関数 f ( x ) = r 2 − ( x − r ) 2 = 2 r x − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}} ( x ∈ [ 0 , h ] {\displaystyle x\in [0,h]} ) を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。表面積は A = 2 π ∫ 0 h f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx} である。 f {\displaystyle f} の導関数は f ′ ( x ) = r − x 2 r x − x 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}} であるから 1 + f ′ ( x ) 2 = r 2 2 r x − x 2 {\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}} となる。よって表面積の式は A = 2 π ∫ 0 h 2 r x − x 2 r 2 2 r x − x 2 d x = 2 π ∫ 0 h r d x = 2 π r [ x ] 0 h = 2 π r h {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh} となる。体積は V = π ∫ 0 h f ( x ) 2 d x = π ∫ 0 h ( 2 r x − x 2 ) d x = π [ r x 2 − 1 3 x 3 ] 0 h = π h 2 3 ( 3 r − h ) {\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)} となる。
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