体積と表面積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)
「超球の体積」も参照 定義Vn(R): 半径 R の n-次元球体の n-次元体積 Sn(R): 半径 R の n-次元球面の n-次元体積 Vn = Vn(R)/Rn Sn = Sn(R)/Rn 漸化式 V 0 = 1 , V n + 1 = S n / ( n + 1 ) {\displaystyle V_{0}=1,\;V_{n+1}=S_{n}/(n+1)} S 0 = 2 , S n + 1 = 2 π V n {\displaystyle S_{0}=2,\;S_{n+1}=2\pi V_{n}} 閉じた式 S n − 1 ( R ) = n π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n − 1 {\displaystyle S_{n-1}(R)={\dfrac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n-1}} V n ( R ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n {\displaystyle V_{n}(R)={\dfrac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}} ただし Γ はガンマ関数である。 低次元の場合の例次元値図形説明零次元 V 0 = 1 {\displaystyle V_{0}=1} 単位球体: 原点 零次元ハウスドルフ測度（英語版）は集合内の点の数 S 0 = 2 {\displaystyle S_{0}=2} 単位球面: 二点 {−1, 1} 一次元 V 1 = 2 {\displaystyle V_{1}=2} 単位球体: 閉区間 [−1, 1] [−1, 1] の長さ（一次元測度） S 1 = 2 π {\displaystyle S_{1}=2\pi } 単位球面: 単位円 単位円の円周の長さ 二次元 V 2 = π {\displaystyle V_{2}=\pi } 単位球面: 単位円板 単位円板の面積（二次元測度） S 2 = 4 π {\displaystyle S_{2}=4\pi } 単位球面 三次元空間内の二次元単位球面の表面積 三次元 V 3 = 4 π 3 {\displaystyle V_{3}={\frac {4\pi }{3}}} 単位球体 二次元球面の囲む体積（三次元測度） …… 一般に、n-次元ユークリッド空間内の n-次元球体および (n + 1)-次元ユークリッド空間内の n-次元球面の n-次元体積は、いずれも半径 R の n-乗に比例する。そこで、半径 R の n-次元球の体積を Vn(R) = VnRn, n-次元球面の体積を Sn(R) = SnRn と書いて、これら比例定数の成す数列 Vn, Sn の性質を記述する。
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体積と表面積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/25 05:10 UTC 版)
１辺の長さがaの正反n角柱の体積は V = n 4 cos 2 π 2 n − 1 sin 3 π 2 n 12 sin 2 π n a 3 {\displaystyle V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\;a^{3}} 表面積は A = n 2 ( cot π n + 3 ) a 2 . {\displaystyle A={\frac {n}{2}}(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}})a^{2}.} となる。
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体積と表面積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 14:40 UTC 版)
球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。 球の半径 r {\displaystyle r} 球冠の底の半径 a {\displaystyle a} 球冠の高さ h {\displaystyle h} 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 θ {\displaystyle \theta } r {\displaystyle r} と h {\displaystyle h} を用いる a {\displaystyle a} と h {\displaystyle h} を用いる r {\displaystyle r} と θ {\displaystyle \theta } を用いる体積 V = π h 2 3 ( 3 r − h ) {\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)} V = 1 6 π h ( 3 a 2 + h 2 ) {\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})} V = π 3 r 3 ( 2 + cos θ ) ( 1 − cos θ ) 2 {\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}} 表面積 A = 2 π r h {\displaystyle A=2\pi rh} A = π ( a 2 + h 2 ) {\displaystyle A=\pi (a^{2}+h^{2})} A = 2 π r 2 ( 1 − cos θ ) {\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )} ϕ {\displaystyle \phi } が地理座標における緯度を示す場合、 θ + ϕ = π / 2 = 90 ∘ {\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,} である。 h {\displaystyle h} と r {\displaystyle r} の関係は 0 ≤ h ≤ 2 r {\displaystyle 0\leq h\leq 2r} であれば問題ない。例えば、図の赤い部分は h > r {\displaystyle h>r} の球冠である。 r {\displaystyle r} と h {\displaystyle h} を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いて r {\displaystyle r} の代わりに球冠の底面の半径 a {\displaystyle a} を用いる式に書き換えることができる。 r 2 = ( r − h ) 2 + a 2 = r 2 + h 2 − 2 r h + a 2 , {\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,} つまり r = a 2 + h 2 2 h . {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.} となる。これを式に代入すると V = π h 2 3 ( 3 a 2 + 3 h 2 2 h − h ) = 1 6 π h ( 3 a 2 + h 2 ) , {\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,} A = 2 π ( a 2 + h 2 ) 2 h h = π ( a 2 + h 2 ) . {\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.} となる。
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体積と表面積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/10 23:50 UTC 版)
ルーローの四面体の体積は、 s 3 12 ( 3 2 − 49 π + 162 tan − 1 2 ) ≈ 0.422158 s 3 {\displaystyle {\frac {s^{3}}{12}}\left(3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422158s^{3}} である。これは辺長 s の正四面体の体積の 3.582127 倍、直径 s の球の体積の 0.806262 倍である。また、表面積は [ 8 π − 18 cos − 1 ( 1 3 ) ] s 2 ≈ 2.975 s 2 . {\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975s^{2}.} である。
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