表面積との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 06:24 UTC 版)
半径 R の n-次元超球面の表面積を An(R) と書くことにする。この n-次元球面は半径 R の (n + 1)-次元球体の境界である。この (n + 1)-次元球体は同心球面の合併であり、その帰結として体積と表面積との間には A n ( R ) = d d R V n + 1 ( R ) {\displaystyle A_{n}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n+1}(R)} なる関係が成立する。体積は半径の冪に比例するから、上記の関係式により n-次元球体の表面積と (n + 1)-次元球体の体積とを関連付ける簡単な漸化式が導かれる。二次元の漸化式を適用することにより、n-次元球体の表面積と (n − 1)-次元球体の体積を関係付ける漸化式も V 0 ( R ) = 1 , A 0 ( R ) = 2 , {\displaystyle V_{0}(R)=1,\quad A_{0}(R)=2,} V n + 1 ( R ) = R n + 1 A n ( R ) , {\displaystyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R),} A n + 1 ( R ) = ( 2 π R ) V n ( R ) {\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)} と与えられる。
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