超球面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)
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数学において、n 次元球面（n-じげんきゅうめん、英: n-sphere, n 球面）は普通の球面の n 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は
漸化式は結合して図にかかれているように表面積に対して「逆向きの」漸化関係を与えることができる：
整数次元
超球面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/23 04:43 UTC 版)
「マイヤー・ヴィートリス完全系列」の記事における「超球面」の解説
k-次元球面 X = Sk のホモロジーをきちんと計算するために、A および B をそれらの交わりが (k − 1)-次元赤道球面にホモトピー同値な X の二つの半球面とする。k-次元半球面は k-次元円板にホモトピックで、これは可縮だから、A および B のホモロジー群は自明である。簡約ホモロジー群に対するマイヤー・ビートリス完全系列から ⋯ → 0 → H ~ n ( S k ) → ∂ ∗ H ~ n − 1 ( S k − 1 ) → 0 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to 0\to {\tilde {H}}_{n}(S^{k})\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}(S^{k-1})\to 0\to \cdots } が得られる。 完全性から直ちに、写像 ∂* が同型になることがわかるので、0次元球面（二点）の簡約ホモロジーから帰納的に、 H ~ n ( S k ) ≅ δ k n Z = { Z if n = k 0 if n ≠ k {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(S^{k})\cong \delta _{kn}\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}n=k\\0&{\text{if }}n\neq k\end{cases}}} が得られる。ただし、δ はクロネッカーのデルタである。 このように球面のホモロジー群は完全にわかっており、今のところ知られている球面のホモトピー群の場合（特に n > k の場合には殆ど知られていない）とは対照的である。
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