単体_(数学)

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単体 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/28 17:58 UTC 版)

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3次元空間で表現できる4種類の単体

数学、とくに位相幾何学において、n 次元の単体（たんたい、英: simplex）とは、「r ≤ n ならばどの r + 1 個の点も r − 1 次元の超平面に同時に含まれることのない」ような n + 1 個の点からなる集合の凸包のことで、点・線分・三角形・四面体・五胞体といった基本的な図形の n 次元への一般化である。

全ての辺の長さが等しい時、正単体と言う。

単体は、頂点の位置さえ決めればそれのみによって一意的に決定される。さらに単体は単体的複体や鎖複体などの概念を与えるが、これらはさらに抽象化されて、幾何学を組合せ論的あるいは代数的に扱う道具となる。また逆に、抽象化された複体の概念から単体が定義される。

素朴な定義

r + 1個の点（の位置ベクトル）a₀, a₁, …, a_r があり、これらすべての点が Rⁿ の r − 1次元以下の部分空間に含まれることはない（これを一般の位置にあるという）ものとする。このとき、

${\displaystyle \left\{\textstyle \sum \limits _{i=0}^{r}\lambda _{i}{\boldsymbol {a}}_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\mid \lambda _{i}\in \mathbb {R} ,\ \sum \limits _{i=0}^{r}\lambda _{i}=1,\ \lambda _{0},\cdots ,\lambda _{r}\geq 0\right\}}$

整数次元

• 0次元
• 1次元
• 2次元
• 3次元
• 4次元
• 5次元
• 6次元 (6DoF)
• 7次元
• 8次元
• 9次元
• 10次元
• 11次元

ポリトープ

• 超平面
• 超曲面
• 超立方体
• 超直方体
• 超球面
• 超矩形
• 半超立方体
• 正軸体
• 単体
• 多胞体

その他

• 座標軸
• 測度論
• 2.5次元
• フラクタル幾何
• 自由度

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