標準単体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/10 05:35 UTC 版)
位相的な単体の中で標準的な対象と考えられるべきものには二種類あり、各々に一長一短がある。一方は重心座標を用いて、他方は単位の分割により表示される。 重心座標を用いて表示される標準的な単体： { ( t 0 , ⋯ , t n ) ∈ R n + 1 ∣ ∑ i = 0 r t i = 1 , t 0 , ⋯ , t n ≥ 0 } ⊂ R n + 1 {\displaystyle \left\{(t_{0},\cdots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \textstyle \sum \limits _{i=0}^{r}t_{i}=1,\ t_{0},\cdots ,t_{n}\geq 0\right\}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} 単位の分割により表示される標準的な単体： { ( x 1 , ⋯ , x n ) ∣ 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n ≤ 1 } ⊂ R n {\displaystyle \textstyle \left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\mid 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}\leq 1\right\}\subset \mathbb {R} ^{n}} ただし、前者は R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} の n次元アファイン超平面 H n : ∑ i = 0 n t i = 1 {\displaystyle H^{n}:\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}t_{i}=1} の上にあり、後者は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の n + 1 {\displaystyle n+1} 個の点 a 0 = ( 0 , … , 0 ) , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0}=(0,\dots ,0),} a 1 = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}=(1,0,\cdots ,0),} a 2 = ( 1 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}=(1,1,0,\cdots ,0),} a 3 = ( 1 , 1 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) ) , ⋯ , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}=(1,1,1,0,\cdots ,0)),\cdots ,} a n = ( 1 , ⋯ , 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{n}=(1,\cdots ,1)} からなる集合の凸包である。 多くの場合に単位の分割による後者の単体が標準単体 (standard simplex) と呼ばれ、そのような場合に前者の単体は単位単体 (unit simplex) と呼ばれることがある。これらはもちろん無関係ではなく、次の同相写像によって同一視される。いずれを標準単体として採用する場合も、記号としては △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} あるいは Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} が用いられることが多い。 D n : R n ∋ ( x 1 , ⋯ , x n ) → ( t 0 , ⋯ , t n ) ∈ H n ⟺ t i = x i + 1 − x i , {\displaystyle D_{n}:\mathbb {R} ^{n}\ni (x_{1},\cdots ,x_{n})\rightarrow (t_{0},\cdots ,t_{n})\in H^{n}\iff t_{i}=x_{i+1}-x_{i},} ただし、 x 0 = 0 , x n + 1 = 1 {\displaystyle x_{0}=0,x_{n+1}=1} とする。
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