トポロジーの準備; 鎖を介した積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)
「一般化されたストークスの定理」の記事における「トポロジーの準備; 鎖を介した積分」の解説
M を滑らかな多様体とする。M の（滑らかな）特異 k -シンプレックスは、Rk の標準単体から M への滑らかな写像で定義される。M の特異 k 鎖（英語版）の群 Ck(M, Z) は、M の特異な k 単体の集合上の自由アーベル群として定義される。これらの群は、境界写像 ∂ とともに鎖複体を定義する。対応するホモロジー（またはコホモロジー）群は、通常の特異ホモロジー群 Hk(M, Z)（または特異コホモロジー群 Hk(M, Z)）と同型であり、M の滑らかな単体ではなく連続な単体を使用して定義される。 一方、外微分 d を接続写像として持つ微分形式は、ド・ラームコホモロジー群 HkdR(M, R) を定義する余鎖複体を形成する。 微分 k 形式は、Rk に引き戻すことにより、自然な方法で k 単体上で積分できる。 線形性を使って拡張すると、鎖をまたいで積分できる。これにより、k 形式の空間から特異な余鎖の k 番目の群 Ck(M, Z) 、Ck(M, Z)上の線形汎関数への線形写像が得られる。 言い換えれば、k 形式 ω は k 鎖上で I ( ω ) ( c ) = ∮ c ω {\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega } で汎関数を定義する。一般化されたストークスの定理によれば、これはド・ラームコホモロジーから実係数の特異ホモロジーへの鎖写像である。外微分 d は微分形式の ∂ の双対のように振る舞う。これにより、ド・ラームコホモロジーから特異ホモロジーへの準同型が得られる。微分形式のレベルでは、これは 閉形式、つまり dω = 0 は境界にわたる積分、つまり多様体にわたる ∂∑cMc、でゼロとなる 完全形式、つまり ω = dσ は、サイクル全体にわたる積分、つまり境界の合計が空集合になる場合：∑cMc = ∅、でゼロとなる を意味する。 ド・ラームの定理は、この準同型が実際には同型であることを示している。したがって、上記の1と2の逆が成り立つ。言い換えると、{ci} が k 番目のホモロジー群を生成するサイクルである場合、対応する実数 {ai} に対して閉形式 ω が存在し ∮ c i ω = a i {\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega ={a_{i}}} となる。この形式は一意で完全形式である。滑らかな多様体上の一般化されたストークスの定理は、滑らかな多様体の鎖上のストークスの定理から導き出すことができ、その逆も可能である。正式に述べると、後者は次のように述べている。 定理 (鎖に対するストークスの定理) ― c を滑らかな多様体 M の滑らかな k 鎖、ω を M 上の滑らかな (k-1) 形式であるとする。この時次が成り立つ： ∫ ∂ c ω = ∫ c d ω . {\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \omega .}
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