一般化されたストークスの定理

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一般化されたストークスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

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解析学
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特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン（英語版） 確率（英語版） 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

一般化されたストークスの定理またはストークス-カルタンの定理^[1]とは、ベクトル解析や微分幾何学における多様体上の微分形式の積分についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これはニュートンの微分積分学の基本定理の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける^[2]。

一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 Ω の境界 ∂Ω 上の微分形式 ω の積分は Ω 全体にわたるその外微分 dω の積分に等しい。すなわち

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }$

位相幾何学的な議論を単純化するために、d = 2 次元の例を検討することによって根本的な原理を調べてみる。本質的な考え方は左の図で理解できる。この図は、多様体の向き付けられたタイリングで、内部経路が反対向きに横切っていることを示している。したがって、経路積分へのそれらの寄与はペアの経路ごとに互いに打ち消し合い、結果として境界からの寄与のみが残る。したがって、十分に細かいタイリング（また単体でも同様）に対するストークスの定理を証明するだけで十分である。これは通常は難しいことではない。

古典的なベクトル解析の例

γ: [a, b] → R² を区分的に滑らかなジョルダン曲線とする。ジョルダン曲線定理によれば、γ は R² を2つの部分、つまりコンパクトな部分と非コンパクトな部分に分割する。D を γ で囲まれたコンパクトな部分とし、ψ: D → R³ を滑らかな関数、S := ψ(D) とする。Γ を Γ(t) = ψ(γ(t))で定義される空間曲線^{[note 2]}とし、F を R³ の滑らかなベクトル場とすると、次が成り立つ：^[13][14][15]

${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$

区分的に滑らかな境界を持つ領域（ここでは Ω ではなく D）。これは角のある多様体であるため、その境界は滑らかな多様体ではない。

上記の定式化は Ω が境界をもつ滑らかな多様体である場合であり、多くの応用では十分ではない。たとえば、右図のように積分領域が2つの x 座標と2つの関数のグラフの間の平面領域として定義されている場合、領域に角があることがある。このような場合、角の点は Ω が境界をもつ滑らかな多様体ではないことを意味し、上記のストークスの定理は適用できない。にもかかわらず、ストークスの定理の結論がまだ真であることを確認することは可能である。これは、Ω とその境界が小さな点の集合（測度0の集合）を除けば適切にふるまうためである。

ラフさを考慮したストークスの定理のバージョンは、ホイットニーによって示された^[16]。D が Rⁿ の連結した境界のある開集合であると仮定する。D が次の特性を満たすとき、D を標準ドメインと呼ぶ：∂D の開いた部分集合 P が存在し、∂D の補集合はハウスドルフ (n-1) -測度（英語版）がゼロである；そして P のすべての点が一般化された法線ベクトルを持つ。これは、ベクトル v(x) が最初の基底ベクトルになるように座標系を選択すると x の開近傍で滑らかな関数 f(x₂, ..., x_n) が存在し、P がグラフ {x₁ = f(x₂, ..., x_n)} であり D が領域 {x₁: x₁ < f(x₂, ..., x_n)} であるようなベクトル v(x) である。ホイットニーは、標準ドメインの境界はゼロハウスドルフ (n-1) -測度の集合と滑らかな (n-1) -多様体の有限和または可算和集合であり、それぞれが片側のみで領域と接すると述べている。次に彼は、D が Rⁿ の標準ドメインである場合、ω は (n-1) 形式であり、連続的で、D ∪ P に制限され、D で滑らかで、P で積分可能であり、dω が D で積分可能であるならば、そのときストークスの定理

${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}\mathrm {d} \omega }$

ベクトル解析によるストークスの定理の図。Σ は表面、∂Σ はその境界、n はその法線ベクトル

これは 1形式の（二重化された）(1+1) 次元の場合である（ベクトル場に関するステートメントであるため、二重化されている）。この特殊ケースは多くの大学のベクトル解析入門コースでストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学で使用されている。 回転定理とも呼ばれる。

古典的なストークスの定理は、3次元ユークリッド空間の曲面 Σ 上のベクトル場の回転の面積分を、その境界上のベクトル場の線積分に関連付ける。これは一般化されたストークスの定理の特殊なケース (n = 2) であり、3次元ユークリッド空間の計量を使用してベクトル場は1形式とみなされる。線積分の経路曲線 ∂Σ は正の方向を向いている必要がある。つまり曲面の法線ベクトル n がこの記事の読者の方を向いている場合 ∂Σ は反時計回りを指す。

この定理の帰結の1つとして、回転がゼロのベクトル場に沿った曲線は閉曲線にすることができないことが言える。定理の公式は次のように書き直すことができる。

定理 ― F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) が滑らかな表面 Σ を持つ領域で定義され、連続した1次偏導関数を持つと仮定する。そのとき

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left[\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\right]=\oint _{\partial \Sigma }(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z),}$

ポータル Mathematics

• en:Chandrasekhar–Wentzel lemma
• ストークスの定理
• ケルビン・ストークスの定理
• 発散定理
• グリーンの定理
• 微分積分学の基本定理

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Stokes formula”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/s090310.htm 
• Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
• Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation

表 話 編 歴 微分積分学
Precalculus	二項定理 凹関数 連続関数 階乗 有限差分 自由変数と束縛変数 基本定理 関数のグラフ 線型関数 平均値の定理 ラジアン ロルの定理 割線 傾き 接線
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微分法	連鎖律 導関数 微分 微分方程式 微分作用素 陰関数微分 逆関数の微分（英語版） ロピタルの定理 ライプニッツ則 対数微分 平均値の定理 ニュートン法 記法 ライプニッツの記法 ニュートンの記法 レギオモンタヌスの問題 相対変化率（英語版） 基本法則 線型性（英語版） 積 商 冪函数（英語版） 停留点 極値の判定（英語版） 最大値の定理 極値 テイラーの定理
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ベクトル解析	回転 方向微分 発散 発散定理 勾配 勾配定理（英語版） グリーンの定理 ラプラシアン ストークスの定理
多変数微分積分学	曲率 Disc integration（英語版） 発散定理 外微分 ガブリエルのホルン 幾何解析（英語版） ヘッセ行列 ヤコビ行列と行列式 線積分 Matrix calculus 多重積分 偏微分 バウムクーヘン積分 面積分 テンソル解析 体積分
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