古典的なベクトル解析の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)
「一般化されたストークスの定理」の記事における「古典的なベクトル解析の例」の解説
γ: [a, b] → R2 を区分的に滑らかなジョルダン曲線とする。ジョルダン曲線定理によれば、γ は R2 を2つの部分、つまりコンパクトな部分と非コンパクトな部分に分割する。D を γ で囲まれたコンパクトな部分とし、ψ: D → R3 を滑らかな関数、S := ψ(D) とする。Γ を Γ(t) = ψ(γ(t))で定義される空間曲線とし、F を R3 の滑らかなベクトル場とすると、次が成り立つ： ∮ Γ F ⋅ d Γ = ∬ S ∇ × F ⋅ d S . {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .} この古典的なステートメントは一般的な定式化に対して、1形式をベクトル場と、2形式をその回転とみなした場合の特殊なケースである。 ( F x F y F z ) ⋅ d Γ → F x d x + F y d y + F z d z , {\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathrm {d} \Gamma \to F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z,} ∇ × ( F x F y F z ) ⋅ d S = ( ∂ y F z − ∂ z F y ∂ z F x − ∂ x F z ∂ x F y − ∂ y F x ) ⋅ d S → d ( F x d x + F y d y + F z d z ) = ( ∂ y F z − ∂ z F y ) d y ∧ d z + ( ∂ z F x − ∂ x F z ) d z ∧ d x + ( ∂ x F y − ∂ y F x ) d x ∧ d y . {\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\&\to \mathrm {d} (F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z)=(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y})\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z})\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x})\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.\end{aligned}}}
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