一般化されたリーマン予想
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リーマン予想は数学における最も重要な予想の一つである。リーマン予想は、リーマンゼータ函数のゼロ点に関する予想である。様々な幾何学的、数論的対象がいわゆる大域的L-函数により記述することができるが、大域的L-函数は形式的にリーマンゼータ函数と似ており、リーマン予想と同様にこれらのL-函数のゼロ点を問うことでリーマン予想の様々な一般化が得られる。これを一般化されたリーマン予想と呼ぶ。一般化されたリーマン予想を正しいと信じる数学者も多い。すでに証明されている一般化されたリーマン予想は（数体の場合ではなく）函数体の場合に限られる。
- ^ Davenport, p. 124.
- ^ Bach, Eric (1990). “Explicit bounds for primality testing and related problems”. Mathematics of Computation 55 (191): 355–380. JSTOR 2008811.
- ^ Shoup, Victor (1992). “Searching for primitive roots in finite fields”. Mathematics of Computation 58 (197): 369–380. JSTOR 2153041.
- ^ p5. Helfgott, Harald. “Major arcs for Goldbach's theorem”. arXiv. 2013年7月30日閲覧。
- 1 一般化されたリーマン予想とは
- 2 一般化されたリーマン予想の概要
- 3 関連項目
一般化されたリーマン予想
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/12 15:08 UTC 版)
「数論的ゼータ函数」の記事における「一般化されたリーマン予想」の解説
一般化されたリーマン予想に従い、ζX (s) の零点は、垂直線 Re(s) = 1/2, 3/2, ... 上のクリティカル帯 0 ≤ Re(s) ≤ n の内側にあり、ζX (s) の極は垂直線 Re(s) = 0, 1, 2, ... 上のクリティカル帯 0 ≤ Re(s) ≤ n の内側にあることが予想されている。 このことは、(エミール・アルティン, Helmut Hasse, André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne）により正の標数で全ての n に対して証明された。しかし、Z 上に平坦な任意のスキームに対しては証明されていない。リーマン予想はこの予想の 2 の場合の特別な場合である。
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一般化されたリーマン予想(GRH)
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「一般化されたリーマン予想」の記事における「一般化されたリーマン予想(GRH)」の解説
（ディリクレのL-函数に対する）一般化されたリーマン予想は、アドルフ・ピルツ（英語版）(Adolf Piltz)により1884年に最初に定式化された。元のリーマン予想のように、素数の分布について深い関連がある。 この予想の形式的な定式化は以下のとおりである。ディリクレ指標とは、ある正の整数 k が存在し、全ての n に対し χ(n + k) = χ(n) であり、gcd(n, k) > 1 のときはいつも χ(n) = 0 であるような完全乗法的な数論的函数 χ のことをいう。そのような指標が与えられたとき、対応するディリクレのL-函数を、実部が 1 より大きなすべての複素数 s に対して、次のように定義することができる。 L ( χ , s ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}} 解析接続により、この函数は全複素平面で定義された有理型函数へ拡張することができる。一般化されたリーマン予想とは、全てのディリクレ指標 χ と L(χ,s) = 0 となる全ての複素数 s に対して、s の実部が 0 と 1 の間にあれば、s の実部は 1/2 となるであろうという予想である。 全ての n に対し χ(n) = 1 とすると、通常のリーマン予想となる。
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