一般化されたリーマン予想

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一般化されたリーマン予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/12 04:11 UTC 版)

リーマン予想は数学における最も重要な予想の一つである。リーマン予想は、リーマンゼータ函数のゼロ点に関する予想である。様々な幾何学的、数論的対象がいわゆる大域的L-函数により記述することができるが、大域的L-函数は形式的にリーマンゼータ函数と似ており、リーマン予想と同様にこれらのL-函数のゼロ点を問うことでリーマン予想の様々な一般化が得られる。これを一般化されたリーマン予想と呼ぶ。一般化されたリーマン予想を正しいと信じる数学者も多い。すでに証明されている一般化されたリーマン予想は（数体の場合ではなく）函数体の場合に限られる。

大域的L-函数は、楕円曲線、数体（この場合はデデキントゼータ函数と呼ばれる）、マース形式、ディリクレ指標（この場合はディリクレのL-函数と呼ばれる）とひも付けられる。デデキントのゼータ函数に対するリーマン予想の一般化は拡張されたリーマン予想(ERH)(英: extended Riemann hypothesis)、ディリクレのL-函数に対するリーマン予想の一般化は一般化されたリーマン予想(GRH)(英: generalized Riemann hypothesis)と呼ばれる。これらの2つの予想を以下で詳述する。（なお多くの数学者は、一般化されたリーマン予想という名称をディリクレのL-函数に対する場合だけではなく、全ての大域的なL-函数に対する場合を一般的に示す名称として使っている。）

一般化されたリーマン予想(GRH)

（ディリクレのL-函数に対する）一般化されたリーマン予想は、アドルフ・ピルツ（英語版）(Adolf Piltz)により1884年に最初に定式化された^[1]。元のリーマン予想のように、素数の分布について深い関連がある。

この予想の形式的な定式化は以下のとおりである。ディリクレ指標とは、ある正の整数 k が存在し、全ての n に対し χ(n + k) = χ(n) であり、gcd(n, k) > 1 のときはいつも χ(n) = 0 であるような完全乗法的な数論的函数 χ のことをいう。そのような指標が与えられたとき、対応するディリクレのL-函数を、実部が 1 より大きなすべての複素数 s に対して、次のように定義することができる。

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

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一般化されたリーマン予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/12 15:08 UTC 版)

「数論的ゼータ函数」の記事における「一般化されたリーマン予想」の解説

一般化されたリーマン予想に従い、ζX (s) の零点は、垂直線 Re(s) = 1/2, 3/2, ... 上のクリティカル帯 0 ≤ Re(s) ≤ n の内側にあり、ζX (s) の極は垂直線 Re(s) = 0, 1, 2, ... 上のクリティカル帯 0 ≤ Re(s) ≤ n の内側にあることが予想されている。 このことは、(エミール・アルティン, Helmut Hasse, André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne）により正の標数で全ての n に対して証明された。しかし、Z 上に平坦な任意のスキームに対しては証明されていない。リーマン予想はこの予想の 2 の場合の特別な場合である。