一般化されたポテンシャル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 05:48 UTC 版)
ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。 p i = ∂ ( K ( v ) − U ( x , v ) ) ∂ v i ≠ ∂ K ( v ) ∂ v i = m v i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.} このような系の例として、電磁場中を運動する電荷を持つ粒子の非相対論的な運動が挙げられる。この系のラグランジアンは具体的に L ( x , v ) = m 2 v 2 − e ϕ ( x ) + e v ⋅ A ( x ) {\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})} である。ここで e は物体の持つ電荷、φ はスカラーポテンシャル、A はベクトルポテンシャルである。このとき、共役運動量は p = m v + e A {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}+e{\boldsymbol {A}}} となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の運動量に、電磁場との相互作用による eA の項が加わる。このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換 H ( x , p ) = v ⋅ p − L ( x , v ) {\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})} より、 H ( x , p ) = ( p − e A ( x ) ) 2 2 m + e ϕ ( x ) {\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})\right)^{2}}{2m}}+e\phi ({\boldsymbol {x}})} となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量 p を運動学的な運動量 p − eA に置き換えたものとなっている。
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