一般化されたエディントンのイプシロンの性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/03 06:03 UTC 版)
「エディントンのイプシロン」の記事における「一般化されたエディントンのイプシロンの性質」の解説
n 次元とし、すべての添字 i1 ,…, in , j1 ,…, jn は 1, 2,…, n の範囲の値を取るとする。 δj1j2…jmi1i2…imを階数m の一般化されたクロネッカーのデルタ δ i 1 … i m j 1 … j m = m ! δ [ i 1 j 1 … δ i m ] j m = det [ δ i 1 j 1 δ i 2 j 1 ⋯ δ i m j 1 δ i 1 j 2 δ i 2 j 2 ⋯ δ i m j 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ δ i 1 j m δ i 2 j m ⋯ δ i m j m ] {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{i_{1}\dots i_{m}}^{j_{1}\dots j_{m}}&=m!\delta _{\lbrack i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{m}\rbrack }^{j_{m}}\\&=\det {\begin{bmatrix}\delta _{i_{1}}^{j_{1}}&\delta _{i_{2}}^{j_{1}}&\cdots &\delta _{i_{m}}^{j_{1}}\\\delta _{i_{1}}^{j_{2}}&\delta _{i_{2}}^{j_{2}}&\cdots &\delta _{i_{m}}^{j_{2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1}}^{j_{m}}&\delta _{i_{2}}^{j_{m}}&\cdots &\delta _{i_{m}}^{j_{m}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}} とすると、 ε i 1 … i n = δ i 1 … i n 1 … n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{1\dots n}} ε j 1 … j n = δ 1 … n j 1 … j n {\displaystyle \varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=\delta _{1\dots n}^{j_{1}\dots j_{n}}} が成り立つ。 また、以下のn + 1個の公式 ε i 1 … i n ε j 1 … j n = δ i 1 … i n j 1 … j n ∑ i 1 = 1 n … ∑ i k = 1 n ε i 1 … i k i k + 1 … i n ε i 1 … i k j k + 1 … j n = k ! δ i k + 1 … i n j k + 1 … j n ∑ i 1 = 1 n … ∑ i n = 1 n ε i 1 … i n ε i 1 … i n = n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\,\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}&=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}\\\sum _{i_{1}=1}^{n}\dots \sum _{i_{k}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\,\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}&=k!\,\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}\\\sum _{i_{1}=1}^{n}\dots \sum _{i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\,\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}&=n!\end{aligned}}} は#性質の節で述べた式の一般化である。
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