一般化されたホッジ予想とは? わかりやすく解説

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一般化されたホッジ予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/04 07:39 UTC 版)

ホッジ予想」の記事における「一般化されたホッジ予想」の解説

ホッジはさらに整数ホッジ予想よりも強い予想立てた。X 上のコホモロジーが、余次元が c である部分多様体上のコホモロジーから来たコホモロジーであるときに、レベル c と呼ぶことにする。少なくともレベルが c であるコホモロジー類は X のコホモロジー類フィルターにかけると、c 番目のフィルトレーション Nc Hk(X, Z) が次の式を満たすことが容易に分かるN c H k ( X , Z ) ⊆ H k ( X , Z ) ∩ ( H k − c , c ( X ) ⊕ ⋯ ⊕ H c , k − c ( X ) ) . {\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).} ホッジ元来ステートメントは以下であった。 一般化されたホッジ予想、ホッジバージョン 次の式は等号成立するであろうN c H k ( X , Z ) = H k ( X , Z ) ∩ ( H k − c , c ( X ) ⊕ ⋯ ⊕ H c , k − c ( X ) ) . {\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap \left(H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)\right).} Grothendieck (1969) では、たとえ有理数係数場合でも、これが正しくないことが認識されていた。何故ならば右辺がいつもホッジ構造であるとは限らないからである。グロタンディェクがホッジ予想修正した形は、次の形である。 一般化されたホッジ予想 Nc Hk(X, Q) は、 H k − c , c ( X ) ⊕ ⋯ ⊕ H c , k − c ( X ) {\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)} に含まれる Hk(X, Z) の最も大きな部分ホッジ構造であろう。 このバージョン未解決である。

※この「一般化されたホッジ予想」の解説は、「ホッジ予想」の解説の一部です。
「一般化されたホッジ予想」を含む「ホッジ予想」の記事については、「ホッジ予想」の概要を参照ください。

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