一般化された座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/30 22:19 UTC 版)
組合せ論的に定義される任意の射影平面に対して、平面三項環と呼ばれる座標「環」（ただし、本当に環となっているとは限らない）を対応させることができる。平面三項環は体または斜体になっている必要はなく、また斜体から構成することができない射影平面というものも多く存在する。そのような射影平面は非デザルグ的な射影平面と呼ばれ、未だ活発な研究の成されている研究対象である。 この平面三項環が持つ代数的性質は、それに対応して平面が持つ幾何学的な接続関係の性質に読み替えることができる。例えば、デザルグの定理に対応するのは座標環が斜体から得られるということであり、またパップスの定理が対応するのは座標環が可換体から得られるということである。あるいは（たとえば八元数体のように）必ずしも結合的でない交代的な可除代数から得られるようなものにはムーファン平面が対応する。 有限射影平面においてデザルグの定理がパップスの定理を含むという純粋に幾何学的な主張の、しかし唯一知られている証明は、斜体に成分を持つ座標をとってウェダーバーンの定理（有限可除環は必ず可換体である）を用いるという代数的な方法によってなされる（逆にパップスの定理がデザルグの定理を含むことは、（有限とは限らない）任意の射影平面において真であり、しかもこれは幾何学的に証明することができる）。
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