一般化された結合法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:24 UTC 版)
二項演算が結合的ならば、その演算が反復して適用されるとき、その式においてきちんと（開きと閉じが）対になる括弧がどのように挿入されるかを気にすることなく、その演算結果が同じであることがわかる。そのことを一般化された結合法則 (generalized associative law) と言う。実例として、四つの元の積を、それらの因子の順番を変えることなく書き下せば、五種類の異なる計算順序が考えられる: ( ( a b ) c ) d , {\displaystyle ((ab)c)d,} ( a b ) ( c d ) , {\displaystyle (ab)(cd),} ( a ( b c ) ) d , {\displaystyle (a(bc))d,} a ( ( b c ) d ) , {\displaystyle a((bc)d),} a ( b ( c d ) ) . {\displaystyle a(b(cd)).} が、これらの積を得る演算が結合的ならば、一般化された結合法則の述べるに従い、これらすべてが同じ値の積であることが結論される。となれば（これらの式から括弧をすべて取り払った式に既に別の意味が施されているのでない限り）この積において括弧は「不要」のものと考えることができて、この積を紛れの虞なく a b c d {\displaystyle abcd} と書くことができる。 このような繰り返しの積において、因子となる元の数が増えるにしたがって、釣り合いのとれた括弧の挿入の仕方の総数は急速に増加するけれども、演算が結合的ならばそれらの区別もやはり必要がなくなる。 結合的だからといって単純に括弧を取り去ってはいけない例として、双条件（英語版） ↔ を挙げよう。↔ は結合的であって A ↔ (B ↔ C) は (A ↔ B) ↔ C に同値であるが、A ↔ B ↔ C はふつうは A ↔ B かつ B ↔ C の意味であって先のふたつとは同値でない。
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