一般化された誤差関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:19 UTC 版)
一般化された誤差関数 E n ( x ) {\displaystyle E_{n}\left(x\right)} のグラフ: 灰色: E 1 ( x ) = ( 1 − exp − x ) π {\displaystyle E_{1}\left(x\right)={\frac {\left(1-\exp ^{-x}\right)}{\sqrt {\pi }}}} 赤: E 2 ( x ) = erf ( x ) {\displaystyle E_{2}\left(x\right)=\operatorname {erf} \left(x\right)} 緑: E 3 ( x ) {\displaystyle E_{3}\left(x\right)} 青: E 4 ( x ) {\displaystyle E_{4}\left(x\right)} 金: E 5 ( x ) {\displaystyle E_{5}\left(x\right)} 書籍によっては、より一般化した関数を論じている場合もある。 E n ( x ) = n ! π ∫ 0 x e − t n d t = n ! π ∑ p = 0 ∞ ( − 1 ) p x n p + 1 ( n p + 1 ) p ! {\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,} 例えば、 E 0 ( x ) {\displaystyle E_{0}\left(x\right)} は原点を通る直線 E 0 ( x ) = x e π {\displaystyle E_{0}\left(x\right)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}} となる。 E 2 ( x ) {\displaystyle E_{2}\left(x\right)} は誤差関数 erf ( x ) {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)} である。 n ! {\displaystyle n!} で割ると、奇数の n {\displaystyle n} についての E n {\displaystyle E_{n}} は互いに似たようなものになる（完全に一致する事は無い）。同様に、偶数の n {\displaystyle n} についての E n {\displaystyle E_{n}} も n ! {\displaystyle n!} で割ると互いに似たものになる（完全に一致する事は無い）。 n > 0 {\displaystyle n>0} での全ての一般化された誤差関数の x {\displaystyle x} が正のときのグラフは互いに似ている。 これらの一般化された誤差関数も x > 0 の場合にガンマ関数と不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。 E n ( x ) = Γ ( n ) ( Γ ( 1 n ) − Γ ( 1 n , x n ) ) π , x > 0 {\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0} 従って、誤差関数は不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。 erf ( x ) = 1 − Γ ( 1 2 , x 2 ) π {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
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