拡張されたリーマン予想 (ERH)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:37 UTC 版)
「一般化されたリーマン予想」の記事における「拡張されたリーマン予想 (ERH)」の解説
K を代数体（有理数体 Q の有限次元拡大体）で、整数環 OK （この環は整数環 Z の K における整閉包である）を持っているとする。a をゼロ以外の OK のイデアルとして、そのノルムを Na により表すとする。K のデデキントゼータ函数は、実部 > 1 である全ての複素数 s に対して次のように定義される。 ζ K ( s ) = ∑ a 1 ( N a ) s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}} ここの和は、OK のゼロでないイデアル a の全てを渡るものとする。 デデキントのゼータ函数は函数等式を満たし、全複素平面へ解析接続することができる。結果として得られる函数は、数体 K の重要な情報を有している。拡張されたリーマン予想は、全ての数体 K と ζK(s) = 0 である全ての複素数 s に対して、s の実部が 0 と 1 の間にあるならば、実際は 1/2 であろうという予想である。 通常のリーマン予想は、整数環 Z をもつ数体を Q をとると、この拡張した予想から得られる。 拡張されたリーマン予想は、チェボタレフの密度定理(Chebotarev density theorem)の「有効な」版を示唆する。つまり、拡張されたリーマン予想を仮定すれば、L/K をガロア群 G を持つ有限次ガロア拡大とし、C を G の共役類の合併とすると、C のフロベニウス共役類と x 以下のノルムの K の不分岐素数の数は、 | C | | G | ( l i ( x ) + O ( x ( n log x + log | Δ | ) ) ) , {\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},} となる。ここでランダウの記号の中の定数は絶対値を取り、n は L の Q 上の次数、Δ はその判別式である。
※この「拡張されたリーマン予想 (ERH)」の解説は、「一般化されたリーマン予想」の解説の一部です。
「拡張されたリーマン予想 (ERH)」を含む「一般化されたリーマン予想」の記事については、「一般化されたリーマン予想」の概要を参照ください。
- 拡張されたリーマン予想のページへのリンク
