現在までの主な進歩

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現在までの主な進歩

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:49 UTC 版)

「ゴールマハティヒ予想」の記事における「現在までの主な進歩」の解説

（Davenport, Lewis & Schinzel (1961)）m, nを固定するごとに、この方程式は高々有限個の解しか持たない。ただしこの証明は整数点についてのジーゲルの定理（これは「effective」ではない）に基づいている。 （Nesterenko & Shorey (1998)）d ≥ 2, r ≥ 1, s ≥ 1 なる d, r, s を用いて m − 1 = dr, n − 1 = ds と表されるとき、max(x, y, m, n) の値は r, s にのみ依存して実効的に計算可能な定数によって上から押さえられる。 （Yuan (2005)）この方程式が解を持つための必要条件は、m = 3 かつ n が奇数であることである。 （He & Togbé (2008)）x, y を固定するごとに、この方程式は高々1個の解しか持たない。

現在までの主な進歩

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 12:57 UTC 版)

「ゴールドバッハの予想」の記事における「現在までの主な進歩」の解説

ノルウェーの数学者ブルンは1920年頃（いくつかの論文に分かれているため曖昧）、エラトステネスの篩を発展させた新しい篩法（sieve method）を用いて、十分大きなすべての偶数は、高々9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。 ハーディとリトルウッドは1923年に、L関数に対する一般化されたリーマン予想（の若干弱い形を）を仮定して、全ての奇数 n ≧ n0 が3個の素数の和となるような下限 n0 が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。 1930年にソビエトの数学者シュニレルマンは、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正のシュニレルマン密度を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。 1937年にソビエトの数学者ヴィノグラードフ（英語版）は三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n0 （現在、具体的にわかっている。 n 0 = 3 3 15 （Borozdin,1939）さらに良い評価として n 0 ≈ 2 × 10 1346 （Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002））の存在を証明した。（ヴィノグラードフの定理参照） 1938年頃、イギリスのエスターマン、ソビエトの数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。 1947年、ハンガリーの数学者レーニは大きな篩い（英語版）という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明した。 中国の数学者陳景潤は1978年までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている。 1995年、フランスの数学者ラマレはすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。 2002年、ヒース＝ブラウン（英語版）とシュラーゲ＝プフタは十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。 2009年、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト(BOINC)でGoldbach's Conjecture Projectが開始された。 2015年、4 × 1018 までの4以上の全ての偶数について成立することが証明された。