シュニレルマンの定理

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シュニレルマンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 02:29 UTC 版)

「シュニレルマン密度」の記事における「シュニレルマンの定理」の解説

以下、 a + b ( a ∈ A , b ∈ B ) と表されるもの全体の集合を A + B と記す。また、 a 1 + a 2 + … + a n ( a i ∈ A ) と表されるもの全体の集合を nA と記す。 nA が自然数全体の集合と一致する最小の n に対して A を位数 n の加法的な基(additive basis)もしくは単に基であるという。たとえば四平方定理より 0 と平方数からなる集合は位数 4 の基である。どのような整数列が基であるか、また基であるときにその位数がいくつかを知ることが加法的整数論の中心的な課題である。 定理 A と B を自然数の集合で、共に 0 を含むものとする。 C = A + B とすると、 σ C ≥ σ A + σ B − σ A ⋅ σ B が成り立つ。 このことは次のようにして分かる。 0 < a 1 < a 2 < … {\displaystyle 0 0 {\displaystyle \sigma A>0} （よって a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} である）の場合を考える。 b ∈ B {\displaystyle b\in B} かつ 1 ≤ b ≤ a i + 1 − a i − 1 {\displaystyle 1\leq b\leq a_{i+1}-a_{i}-1} ならば、 a i + b {\displaystyle a_{i}+b} は C の元であるが A の元ではない。 B が 0 を含んでいることより C は A の元を含んでいるから、 r = A ( x ) {\displaystyle r=A(x)} とおくと、 C ( x ) ≥ r + ∑ i = 1 r − 1 B ( a i + 1 − a i − 1 ) + B ( x − a r ) , {\displaystyle C(x)\geq r+\sum _{i=1}^{r-1}B(a_{i+1}-a_{i}-1)+B(x-a_{r}),} ここで σ B ≤ B ( x ) / x {\displaystyle \sigma B\leq B(x)/x} が常に成り立つことから C ( x ) ≥ r + σ B ( x − a r + ∑ i = 1 r − 1 ( a i + 1 − a i − 1 ) ) ≥ x σ B + r ( 1 − σ B ) {\displaystyle C(x)\geq r+\sigma B(x-a_{r}+\sum _{i=1}^{r-1}(a_{i+1}-a_{i}-1))\geq x\sigma B+r(1-\sigma B)} となる。 r = A ( x ) ≥ x σ A {\displaystyle r=A(x)\geq x\sigma A} が常に成り立つから、 C ( x ) ≥ x σ B + x σ A ( 1 − σ B ) = x ( σ A + σ B − σ A ⋅ σ B ) {\displaystyle C(x)\geq x\sigma B+x\sigma A(1-\sigma B)=x(\sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B)} である。これより定理が示された。 この定理を変形すると ( 1 − σ ( A + B ) ) ≤ ( 1 − σ A ) ( 1 − σ B ) {\displaystyle (1-\sigma (A+B))\leq (1-\sigma A)(1-\sigma B)} となる。これを帰納的に適用して、 1 − σ ( A 1 + A 2 + … A n ) ≤ ∏ i ( 1 − σ A i ) {\displaystyle 1-\sigma (A_{1}+A_{2}+\ldots A_{n})\leq \prod _{i}(1-\sigma A_{i})} を得る。