マンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 02:29 UTC 版)
歴史的には、シュニレルマンの定理より強い予想は、それ以前の一時期よりエドムンド・ランダウ(Edmund Landau)によって「アルファ+ベータ予想」として使われていた。1942年、ヘンリー・マン（英語版）によりこの予想は証明され、マンの定理として定式化された。 定理. (Mann 1942) A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} を N {\displaystyle \mathbb {N} } の部分集合とする。 A ⊕ B ≠ N {\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} } の場合、 σ ( A ⊕ B ) ≥ σ A + σ B {\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B} が成り立つ。 つまり、A が 0 を含んでおり、また σA ≥ 1/n ならば、A は次数が高々 n の基となっていることが分かる。 マンの証明の直後、エミル・アルティン(Emil Artin)と P. Scherk はマンの定理の証明を簡素化した。この定理の低い漸近密度での類似は、クネーザー(Kneser)により得られた。
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