ストーンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/13 05:04 UTC 版)
ストーンの定理
- ブール代数についてのストーンの表現定理
- ストーン・ワイエルシュトラスの定理
- ストーン＝フォン・ノイマンの定理
- 一径数ユニタリ群に関するストーンの定理
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ストーンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ストーンの定理」の解説
作用素解析により、 U t := e x p ( i t H ) {\displaystyle U_{t}:=\mathrm {exp} (itH)} と定義すると、Utはユニタリ変換であり、しかも準同型性を満たす。すなわち任意の s , t ∈ R {\displaystyle s,t\in \mathbf {R} } に対し、 U t U s = U t + s {\displaystyle U_{t}U_{s}=U_{t+s}} が成立する事が知られているH13(p207-209)。さらにUtはtに関して強連続である。すなわち任意の ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} と任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対し、 lim s → t ‖ U s ( ψ ) − U t ( ψ ) ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{s\to t}\|U_{s}(\psi )-U_{t}(\psi )\|=0} であるH13(p207-209)。 一般に H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ変換の族 { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} で準同型性と強連続性とを満たすものを強連続１パラメータユニタリ群というH13(p207)。 実は強連続１パラメータ変換は、上述した指数関数のものに限られる事が知られている： 定理 (ストーンの定理（英語版）H13(p210, 208)) ― { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の強連続１パラメータユニタリ群とする。このとき、 { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} の無限小生成元(infinitesimal generator)を A ( ψ ) := lim t → 0 1 i U t ( ψ ) − ψ t {\displaystyle A(\psi ):=\lim _{t\to 0}{1 \over i}{U_{t}(\psi )-\psi \over t}} により定義すると、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合上で上式右辺はノルム位相に関して収束する。しかも無限小生成元Aは自己共役作用素であり、任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対し、 U t := e x p ( i t A ) {\displaystyle U_{t}:=\mathrm {exp} (itA)} が成立する。 以上の事から、写像 A ↦ { e x p ( i t A ) } t ∈ R {\displaystyle A\mapsto \{\mathrm {exp} (itA)\}_{t\in \mathbf {R} }} により、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素に強連続１パラメータ変換を対応させる事ができ、逆に { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} に対してその無限小生成元対応させる事で、強連続１パラメータ変換に自己共役作用素を対応させる事ができる。両者は逆写像の関係になっており、自己共役作用素と強連続１パラメータ変換は１対１に対応するH13(p209)： A ( ψ ) = lim t → 0 1 i e x p ( i t A ) ( ψ ) − ψ t {\displaystyle A(\psi )=\lim _{t\to 0}{1 \over i}{\mathrm {exp} (itA)(\psi )-\psi \over t}}
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