作用素解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「作用素解析」の解説
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を状態空間とし、Hを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の（有界とは限らない）自己共役作用素とする。スペクトル測度によるスペクトル定理より、スペクトル測度μが一意に存在し、 H = ∫ σ ( H ) λ d μ {\displaystyle H=\int _{\sigma (H)}\lambda \mathrm {d} \mu } が成立する。 そこで有界可測関数 f : σ ( A ) → C {\displaystyle f~:~\sigma (A)\to \mathbf {C} } に対し、線形作用素f(A)を f ( H ) := ∫ σ ( H ) f ( λ ) d μ {\displaystyle f(H):=\int _{\sigma (H)}f(\lambda )\mathrm {d} \mu } により定義する事ができるH13(p141)新井(p144)。この手法により線形作用素f(A)を定義する手法を作用素解析新井(p149)(operational calculus)という。特に関数fとして指数関数を選ぶことで、 e x p ( H ) := ∫ σ ( H ) e x p ( λ ) d μ {\displaystyle \mathrm {exp} (H):=\int _{\sigma (H)}\mathrm {exp} (\lambda )\mathrm {d} \mu } を定義できる。
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