別定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/20 03:21 UTC 版)
ρ {\displaystyle \rho } が上述したように書ける必要十分条件は、以下の3つを満たす事が知られている新井08:p81: ρ {\displaystyle \rho } は有界な自己共役作用素 ρ {\displaystyle \rho } は非負の作用素である。すなわち ⟨ ψ | ρ | ψ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \psi |\rho |\psi \rangle \geq 0} が状態空間上の任意の状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } に対して成立する。 t r ( ρ ) = 1 {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )=1} よってこの3条件を満たす事を密度行列の定義としても良い。 なお、 t r ( ρ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )} は状態空間上の完全正規直交系 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、…を用いて t r ( ρ ) = ∑ k ⟨ ψ k | ρ | ψ k ⟩ {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )=\sum _{k}\langle \psi _{k}|\rho |\psi _{k}\rangle } により定義されるH13:p421。この値は完全正規直交系の取り方に依存しない為、well-definedであるH13:p421。 本節の方法で定義した密度行列を前節の(M1)式の形で表す事を、密度行列のシャッテン分解という新井08:p81。
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別定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/20 03:21 UTC 版)
密度行列 ρ {\displaystyle \rho } に対し、作用素解析の手法により ρ log e ρ {\displaystyle \rho \log _{\mathrm {e} }\rho } を定義する事ができ、 S ( ρ ) := − k B t r ( ρ log e ρ ) {\displaystyle S(\rho ):=-k_{B}\mathrm {tr} (\rho \log _{\mathrm {e} }\rho )} によりフォン・ノイマンエントロピーを定義する事ができる新井08:p190-191。この定義は前述した定義と一致する新井08:p190-191。
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別定義 (多項式の根)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/22 07:55 UTC 版)
「多項式の根」の記事における「別定義 (多項式の根)」の解説
多項式 P の A における根とは、A の元 α であって、二項式 X – α が P を(A[X] において)割り切る(英語版)ものを言う。
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別定義(細分による定義)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/25 07:14 UTC 版)
「リーマン積分」の記事における「別定義(細分による定義)」の解説
上述した定義には、非常に扱いづらいという困った問題が存在する。そこでリーマン積分のより扱いやすい別な定義を与え、それが先ほどの定義によるものと一致することを証明する。 定義 (細分) P(x, t), Q(y, s) がともに区間 I の点付き分割とする。分割 Q(y, s) が分割 P(x, y) の細分 (refinement) とは、0 ≤ i ≤ n なる各整数 i に対して整数 r(i) で xi = yr(i) なるものが存在し、かつ r(i) ≤ j < r(i + 1) なる適当な j に対して ti = sj とできるときにいう。 端的に言えば、点付き分割の細分とは、分割に識別点を追加することであり、細分によってその分割の精度は「改良」("refine") される。 一方が他方の細分となっているとき、前者は後者以上であるとすることにより、点付き分割全体の成す集合に半順序を定義することができる。
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