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別定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 03:21 UTC 版)

「密度行列」の記事における「別定義」の解説

ρ {\displaystyle \rho } が上述したように書ける必要十分条件は、以下の3つを満たす事が知られている新井 08:p81： ρ {\displaystyle \rho } は有界な自己共役作用素 ρ {\displaystyle \rho } は非負の作用素である。すなわち ⟨ ψ | ρ | ψ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \psi |\rho |\psi \rangle \geq 0} が状態空間上の任意の状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } に対して成立する。 t r ( ρ ) = 1 {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )=1} よってこの3条件を満たす事を密度行列の定義としても良い。なお、 t r ( ρ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )} は状態空間上の完全正規直交系 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、…を用いて t r ( ρ ) = ∑ k ⟨ ψ k | ρ | ψ k ⟩ {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )=\sum _{k}\langle \psi _{k}|\rho |\psi _{k}\rangle } により定義されるH13:p421。この値は完全正規直交系の取り方に依存しない為、well-definedであるH13:p421。本節の方法で定義した密度行列を前節の(M1)式の形で表す事を、密度行列のシャッテン分解という新井 08:p81。

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「密度行列」の記事における「別定義」の解説

密度行列 ρ {\displaystyle \rho } に対し、作用素解析の手法により ρ log e ⁡ ρ {\displaystyle \rho \log _{\mathrm {e} }\rho } を定義する事ができ、 S ( ρ ) := − k B t r ( ρ log e ⁡ ρ ) {\displaystyle S(\rho ):=-k_{B}\mathrm {tr} (\rho \log _{\mathrm {e} }\rho )} によりフォン・ノイマンエントロピーを定義する事ができる新井 08:p190-191。この定義は前述した定義と一致する新井 08:p190-191。