有限差分に関する演算子法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/13 01:46 UTC 版)
「有限差分」の記事における「有限差分に関する演算子法」の解説
詳細は「和分差分学」を参照 前進差分を、函数 f を Δh[f] へ写す差分作用素と考えることができる。この作用素は、歩み h のシフト作用素 Th を用いて Δ h = T h − I {\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I} という和に書くことができる。ここに、Th[f ](x) = f(x+h) および I は恒等作用素である。 高階の有限差分は再帰的に Δhn ≡ Δh (Δhn−1) と定義することができるが、これと同値な別定義として Δhn = [Th −I]n とすることもできる。 差分作用素 Δh は線型作用素であり、上で述べた特別なライプニッツ則Δh(f(x)g(x)) = (Δhf(x)) g(x+h) + f(x) (Δhg(x)) を満足する。後退および中心差分に関しても同様のことが成立する。 h に関するテイラー級数を形式的に適用することで、等式 Δ h = h D + 1 2 h 2 D 2 + 1 3 ! h 3 D 3 + ⋯ = e h D − I {\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\dotsb =e^{hD}-I} が得られる。ここで D は函数 f をその導函数 f' へ写す連続的な微分作用素である。十分小さな h に対して、この展開は両辺が解析函数に作用するとき有効である。従って Th = ehD であり、逆に冪指数に関して解いて h D = log ( 1 + Δ h ) = Δ h − 1 2 Δ h 2 + 1 3 Δ h 3 + ⋯ {\displaystyle hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\dotsb } が得られる。この式は両辺が多項式に作用して同じ結果を与えるという意味において正しい。 解析函数に作用する場合でも、右辺の級数の収束は保証されず、漸近級数となり得る。しかし、微分に対するより精密な近似を得ることには利用できる。例えば、例えばこの級数の最初の二項だけを取り出せば、#高階差分の節の最後に述べた f'(x) の二階近似が導かれる。 後退および中心差分に対する同様の公式は h D = − log ( 1 − ∇ h ) , h D = 2 arsinh ( 1 2 δ h ) {\displaystyle hD=-\log(1-\nabla _{h}),\quad hD=2\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h})} となる。
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