有限増大度整函数の因数分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 01:57 UTC 版)
「整関数」の記事における「有限増大度整函数の因数分解」の解説
詳細は「ヴァイヤシュトラスの因数分解定理」を参照 ヴァイヤシュトラスは有限増大度 ρ の任意の整函数 f に対し、f が複素数 an ≠ 0 で値が零にならないとすれば、次数が高々 ρ である多項式 P(s) と整数 m ≤ ρ が存在して、 f ( s ) = s p exp ( P ( s ) ) ∏ n = 1 ∞ E ( s a n , m ) {\displaystyle f(s)=s^{p}\exp(P(s))\prod _{n=1}^{\infty }E\left({\frac {s}{a_{n}}},m\right)} と書けることを示した。ただし、 E ( u , m ) = ( 1 − u ) e u + u 2 / 2 + ⋯ + u m / m {\textstyle E(u,m)=(1-u)e^{u+u^{2}/2+\dotsb +u^{m}/m}} である。因子 sp は、函数が原点 0 に位数 p の零点を持つことに対応するものである。 ブートルー–カルタンの定理は整函数の研究において頻繁に用いられる結果を述べる。問題は積 P ( z ) := ∏ k = 1 n ( z − z k ) {\textstyle P(z):=\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})} を零点の近傍の外において評価することである。いま n は既知と仮定する。 定理 (Boutroux–Cartan) 任意の実数 H > 0 に対し、半径の和が高々 2H となる n 個の円の外側で | P ( z ) | > ( H e ) n {\displaystyle |P(z)|>\left({\frac {H}{e}}\right)^{n}} が成り立つ。
※この「有限増大度整函数の因数分解」の解説は、「整関数」の解説の一部です。
「有限増大度整函数の因数分解」を含む「整関数」の記事については、「整関数」の概要を参照ください。
- 有限増大度整函数の因数分解のページへのリンク
