有限増分の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 11:16 UTC 版)
有限増分の定理と呼ばれる定理にもいくつか異なるバージョンがあり、後で述べる平均値の定理の別名でしかない場合もある 弱い有限増分の定理 函数 f は閉区間 [a, b] 上で有限かつ連続、開区間 (a, b) で微分可能であるとき、 m := inf a < x < b f ′ , M := sup a < x < b f ′ {\textstyle m:=\inf _{a<x<b}f',M:=\sup _{a<x<b}f'} とすれば m ( b − a ) ≤ f ( b ) − f ( a ) ≤ M ( b − a ) {\displaystyle m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)} が成立する。 強い有限増分の定理 函数 f, g は閉区間 [a, b] 上で有限かつ連続、開区間 (a, b) で微分可能であるとき、区間 [a, b] 上で m g ′ ( x ) ≤ f ′ ( x ) ≤ M g ′ ( x ) {\textstyle mg'(x)\leq f'(x)\leq Mg'(x)} となる定数 m, M が存在するならば m ( g ( b ) − g ( a ) ) ≤ f ( b ) − f ( a ) ≤ M ( g ( b ) − g ( a ) ) {\displaystyle m(g(b)-g(a))\leq f(b)-f(a)\leq M(g(b)-g(a))} が成立する。 微分可能性に関しては、殆ど至る所微分可能や、殆ど至る所左側（resp. 右側）微分可能に緩めたもの、あるいは微分係数が∞となることを許す場合でも、適当な仮定のもとで成り立つ。また、絶対値をとれば結論の不等式を | f ( b ) − f ( a ) | ≤ M ( g ( b ) − g ( a ) ) ( M := sup a < x < b | f ( x ) | ) {\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(g(b)-g(a))\quad (M:=\sup _{a<x<b}|f(x)|)} のような形に書くこともできる。
※この「有限増分の定理」の解説は、「平均値の定理」の解説の一部です。
「有限増分の定理」を含む「平均値の定理」の記事については、「平均値の定理」の概要を参照ください。
- 有限増分の定理のページへのリンク
