増分定理

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増分定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/22 09:54 UTC 版)

数学の一分野、超準解析における増分定理（ぞうぶんていり、英: increment theorem; 増分の定理）は、無限小に対する可微分函数の増分が微分係数に無限に近いことを述べるものである。これを通常の微分積分学（標準解析）において述べたものは実質的に平均値の定理（有限増分の定理、あるいは一次の場合のテイラーの定理）である。

定理の主張

定理 (増分の定理)

実函数 y = f(x) は x において微分可能とする（以下、f および x は固定する）。Δx が無限小超実数であるとき、Δx に対する y の増分を Δy := f(x + Δx) − f(x) とすれば、Δx に対して適当な無限小 ε が存在して

$${\mathit {\Delta y}}=f'(x){\mathit {\Delta x}}+\varepsilon {\mathit {\Delta x}}$$

関連分野

• 超準解析
• 超準微積分学
• 内的集合論
• 綜合微分幾何学
• 滑らかな無限小解析
• 構成的超準解析
• 無限小応変理論（物理学）

定式化

• 微分小
• 超実数
• 二重数
• 超現実数

個々の概念

• 標準部分
• 移行原理
• 超整数
• 増分定理
• モナド
• 内的集合
• レヴィ＝チヴィタ体
• 超有限集合
• 連続の法則
• 溢出
• microcontinuity
• 等質性の超越法則

数学者

• ゴットフリート・ライプニッツ
• アブラハム・ロビンソン
• ピエール・ド・フェルマー
• オーギュスタン＝ルイ・コーシー
• レオンハルト・オイラー

教科書

• 『無限小解析』
• 『無限小解析の基礎』
• 『解析教程』