有限変数の帰納的構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:25 UTC 版)
「多変数多項式」の記事における「有限変数の帰納的構成」の解説
n 変数の A-係数多項式環 A[X1, …, Xn] は n に関して帰納的に定義される : 0 個の不定元に関する A-係数多項式環とは、単に A それ自身のこととする。 n > 1 に対し、A[X1, …, Xn] は、係数環 B がひとつ前のステップで構成済みの多項式環 A[X1, …, Xn–1] となっている多項式環 B[Xn] である。 定義により、（帰納的に）直ちにわかることは A[X1, …, Xn] は 可換環であり、整域となるための必要十分条件は A がそうであることである。 A を部分環として含み、したがって A-多元環となる。 A-加群として自由であり、その標準基底は単項式 X k11 ⋯X knn （各 ki は非負整数）の全体で与えられる。 上記の帰納的定義をより具体的に書けば、A[X1, …, Xn] の元は P = ∑ j = 0 m P j X n j ( P j ∈ A [ X 1 , … , X n − 1 ] ) {\displaystyle P=\sum _{j=0}^{m}P_{j}X_{n}^{j}\qquad (P_{j}\in A[X_{1},\dotsc ,X_{n-1}])} なる形の有限和に書けて、さらに各 Pj は P j = ∑ k 1 , … , k n − 1 ∈ { 0 , … , d j } a k 1 , … , k n − 1 , j X 1 k 1 ⋯ X n − 1 k n − 1 ( a k 1 , … , k n − 1 , j ∈ A ) {\displaystyle P_{j}=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n-1}\in \{0,\dotsc ,d_{j}\}}a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n-1}^{k_{n-1}}\qquad (a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}\in A)} なる有限和に書けるということになる。あるいは、m 個の d0, …, dm の上界（英語版）を d として、Pj および A に属する係数のリストを適当に 0 で埋めれば、 P j = ∑ k 1 , … , k n − 1 ∈ { 0 , … , d } a k 1 , … , k n − 1 , j X 1 k 1 ⋯ X n − 1 k n − 1 {\displaystyle P_{j}=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n-1}\in \{0,\dotsc ,d\}}a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n-1}^{k_{n-1}}} と多少簡単に書けて、最終的に n 変数多項式は P = ∑ j = 0 d P j X n j = ∑ k 1 , … , k n − 1 , j ∈ { 0 , … , d } a k 1 , … , k n − 1 , j X 1 k 1 ⋯ X n − 1 k n − 1 X n j {\displaystyle P=\sum _{j=0}^{d}P_{j}X_{n}^{j}=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j\in \{0,\dotsc ,d\}}a_{k_{1},\dotsc ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n-1}^{k_{n-1}}X_{n}^{j}} なる形をしている。
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